[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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405(3): 2020/11/22(日)18:05 ID:xl9Agv/6(7/10) AAS
>>384
そうですね 有限体の論を用いるならそのようになりますね
x^2+x+1 の問題と同様の方法でやろうとすると
ζ + 1/ζ ∈ F_p とは限らないので(ζはF_pの代数閉包の中の1の原始9乗根)
最低でもF_pの2次拡大を考えることになります
しかしながら まったく別の発想の解法があります
もちろん 完全に初歩的な方法です
省17
406(2): 2020/11/22(日)18:07 ID:xl9Agv/6(8/10) AAS
>>405
Step 1
任意の互いに素な整数a,bの組に対して
f(a,b)≡±1(mod 9) あるいは
f(a,b)≡±3(mod 27) が成立する
(これは力技で示してもいいが多少の工夫をする)
以下はそれの証明である :
省18
407(1): 2020/11/22(日)18:10 ID:xl9Agv/6(9/10) AAS
>>405
>>406
Step 2
f(a,b)≡0 (mod p)を満たす互いに素な整数a,bの組が存在するような
p∈D が存在していたと仮定し, (これは背理法のための仮定である)
そのようなpでとくに最小なものを改めてpとおき
f(a,b)≡0 (mod p) が成立しているとする
省27
409: 2020/11/23(月)05:12 ID:RH5orda/(1/6) AAS
>>405-408
なるほど。初等的であってもちゃんと証明するとなるとなかなかに大変な議論ですね。
わたしなどはどうしても「群構造を使ってラクをしよう」と思うのですが笑
確かに、そんな構造がないときや、予め分かってないときは困りそうです。
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