[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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378(2): 2020/11/22(日)01:23 ID:xl9Agv/6(3/10) AAS
類題をあげておきましょう もちろん完全に初等的な方法で解けます:

(1) nを正の整数とし, n^3-3n+1の素因数をpとする.
このとき, p=3 か p≡±1 (mod 9) であることを証明せよ

(2) (1)を用いて 9k-1型の素数が無限個存在することを示せ

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384(1): 2020/11/22(日)06:59 ID:22xXPTDc(6/9) AAS
>>378
有限体を使うのかな？
「ζを1の原始9乗根として
ζ + 1/ζ の最小多項式は x^3-3x+1」
とタネ明かしされているので
「x^3-3x+1がZ/pZ=F_p上で一次式の積に分解する」
⇔x^6+x^3+1（ζの最小多項式）がF_p^2上で一次式の積に分解する
省3

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412: 2020/11/23(月)09:50 ID:RH5orda/(2/6) AAS
ちなみに>>378の
>(2) (1)を用いて 9k-1型の素数が無限個存在することを示せ
は、Π=Π_{p:素数, p≦X}pに対して
x=-Πと代入して、x^3-3x+1=-(Π^3-3Π-1)
において、Π^3-3Π-1>0の素因数を考えればいいのかな？
3では割れないから、素因数は9n±1型素数だが
Π^3-3Π-1>0は9n-1型整数だから、少なくとも一つの9n-1型素数を含む。
省7

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