[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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21(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:01 ID:9Sqq12HI(3/12) AAS
>>20
つづき
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滑らかな無限小解析
滑らかな無限小解析（英: Smooth infinitesimal analysis、SIA）は無限小の言葉を用いた微分積分学の現代的な再定式化（のひとつ）である。ウィリアム・ローヴェアのアイデアに基づき、また圏論の手法を用いることで、SIAは全ての関数は連続であって、離散的実体を用いて表現することができないものと見做す。SIAは理論としては総合微分幾何（英語版）の一部である。
複零（nilsquare）あるいは冪零（nilpotent）無限小とは、ε2 = 0 なる数 ε のことである（ε = 0 は真である必要がない）。
概要
省5
22: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:02 ID:9Sqq12HI(4/12) AAS
>>21
つづき
標準的な数学が無矛盾である限り、SIAは無矛盾であるので、このようなことは起こりえない。すなわち、f が未定義となるような具体的な x の存在は証明できない。）
滑らかな無限小解析の典型的なモデルにおいては、無限小は可逆（invertible）ではなく（すなわち乗法逆元が取れない）、したがってこの理論は無限大数を含まない。しかし、可逆な無限小を含むようなモデルも存在する。
超準解析や超現実数といった、無限小を含むような他の数学的体系もある。滑らかな無限小解析は次の点で超準解析に似ている (1) 解析学の基礎となることを意図している (2) 無限小量は具体的な大きさを持たない（フォン・ノイマン順序数 ω の逆数 1/ω を典型的な無限小とする超現実数とは対照的に）。しかし、滑らかな無限小解析は、非古典論理を使用する点および移行原理（英語版）を欠いている点で、超準解析とは異なっている。中間値の定理やバナッハ＝タルスキのパラドックスを含む、標準解析と超準解析の幾つかの定理は、滑らかな無限小解析に於いては偽である。超準解析の文は極限に関する文へと翻訳可能であるが、同じことは滑らかな無限小解析に於いては必ずしも成り立たない。
直観的には、滑らかな無限小解析は、点ではなく、無限に小さな切片から構成された直線の世界を記述するものと解釈することができる。それらの切片は方向を持つに十分な長さであるが、曲がるには不十分な長さであると思うことができる。不連続関数の構成は失敗する。というのは、関数は曲線と同一視されるが、曲線を点毎に構成することはできないからである。中間値の定理の不成立は、無限小切片の持つ、線を跨ぐ能力に起因するものと想像することができる。（訳注：関数が無限小切片の中で中間値を通過した（跨いだ）とすると、その切片の中のどの点が中間値を与えるのかを特定できない。
省1
27(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)15:07 ID:9Sqq12HI(7/12) AAS
>>26
総合微分幾何か、初耳だが
”総合微分幾何（英語版）”（>>21）のリンクを辿ると下記だな
Synthetic differential geometryを”総合微分幾何（英語版）”と訳したみたいだが
誤訳っぽいかもね（＾＾；
”Synthetic”には、「《化学》合成の；（宝石が）模造の」、「3本物でない，作りごとの」、「[名]C合成品；模造品」
という意味があるのでこちらだろうね
省22
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