[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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953: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/12(土) 23:54:55 ID:CvV0i5UV >>951 >Gが無限群の場合、龍孫江動画の証明は >>”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．” >は、自明ではない結論をもたらす。たとえばG=モジュラー群としてみよ。 話がすり替わっているぞ もともと、コンテキスト（文脈）は>>692の ">いいですか？ まず、有限群Gをある対称群S_nの部分群として埋め込む。 良くないんじゃない？　”埋め込む”の定義は？" ここは、有限群の話だよ？　なんで言い訳に、無限群の場合が出てくるんだ？ それと、Gとして下記の無限交代群 A_∞の場合において、「Ｈは指数有限の正規部分群」って、どうなるんだ？　一例で良いから、A_∞の指数有限の正規部分群を示せ！（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 1.2 無限単純群 無限単純群 無限交代群 A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n → A_n+1に関する)単調増加列の合併として定義できる。 (引用終り) >Gが有限群の場合、kerφ={e}になる場合は上の命題は自明だが そう、自明だよ 正規部分群として、自明な正規部分群｛e｝を認めればな Ｈが、単位限以外の e≠x なる元xを含めば、定義より逆元x^-1が存在して x・x^-1＝e これより、e∈H　だから｛e｝⊂H Hが単位元eのみなら、｛e｝＝H 成立 証明は、３行で終わるぜ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/953

954: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/12(土) 23:59:53 ID:CvV0i5UV >>953 追加 無限交代群 A_∞では、指数有限のHが存在しないかな？（＾＾ 無限単純群って、全部そうなの？ 例えば下記はどうよ？ 証明ある？（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 1.2 無限単純群 無限単純群 有限生成である 無限単純群を構成するのはもっと難しい。最初の例はグラハム・ヒグマン（英語版）によるもので、ヒグマン群（英語版）の商群である。[6] 他の例は無限トンプソン群（英語版） T と V を含む。有限表示のねじれのない無限単純群はBurgerとMozesにより構成された。[7] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/954

955: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/13(日) 00:02:01 ID:HcEKuJwa >>953 タイポ訂正 Ｈが、単位限以外の e≠x なる元xを含めば、定義より逆元x^-1が存在して 　　↓ Ｈが、単位元以外の e≠x なる元xを含めば、定義より逆元x^-1が存在して http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/955

956: １３２人目の素数さん [sage] 2020/12/13(日) 00:27:41 ID:Eof1sjXR >>953-954 >Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包む には、無限群、有限群含めて反例はないんだな。 じゃ、あなたの負けだな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/956

962: １３２人目の素数さん [sage] 2020/12/13(日) 06:20:39 ID:hbHQHgSE >>953 >話がすり替わっているぞ 話をすり替えて、自分の誤りをなかったことにしたがってるのは、君 >もともとは>>692の >"いいですか？ まず、有限群Gをある対称群S_nの部分群として埋め込む。" >良くないんじゃない？　”埋め込む”の定義は？" そうだよ、だから>>693の 「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」 は関係ないよ そして、有限群Gがある対称群S_nの部分群となることは >>707で示されてる >>692が本題なら、>>693は切り捨てて、>>707に反論してみろ 以下は無意味　話をすりかえるなよ >ここは、有限群の話だよ？　なんで言い訳に、無限群の場合が出てくるんだ？ >それと、Gとして下記の無限交代群 A_∞の場合において、 >「Ｈは指数有限の正規部分群」って、どうなるんだ？　 >一例で良いから、A_∞の指数有限の正規部分群を示せ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/962

966: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/13(日) 08:35:23 ID:HcEKuJwa >>953 補足 (引用開始) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 1.2 無限単純群 無限単純群 無限交代群 A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n → A_n+1に関する)単調増加列の合併として定義できる。 (引用終り) ふと思ったが これで、同様に無限対称群 S_∞を考えたらどう？ 上記のA_∞と同じ で、S_∞ ⊃ A_∞ となって、有限群で SnとAnのアナロジーができる A_∞は、S_∞の正規部分群で、その指数は２とできるだろう（証明は、多分可能じゃね？（＾＾；） それで >>905 >龍孫江氏のYoutube動画 >解説テキスト版：https://note.mu/ron1827/n/n6f79eb36c397 >”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．” >>906 >　"昔々、多分１９６０年ころの東大の院試問題で >　「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」 >　ってのが出た" ここで、G＝S_∞、H＝A_∞としたらどうなるのかね？ 有限群では、 SnとAn（n≧5）なら、Snに対してAnは唯一の非自明な正規部分群だろ？　でも、この場合は{e}を使えば、Anに「指数有限の正規部分群を含む」は言える しかし、G＝S_∞では、{e}では指数有限にならないが G＝S_∞で、A_∞⊃Nと出来て、NはS_∞に対して「指数有限の正規部分群」となるようなN（当然無限群でなければならない）が存在れば良いけど その龍孫江氏の証明使って良いからさｗｗｗ 上記A_∞⊃Nなる「指数有限の正規部分群N」の存在を示せ！ｗ（＾＾； どぞ（＾＾； 示せないなら、G＝S_∞で反例成立じゃね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/966

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