純粋・応用数学(含むガロア理論)5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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908: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/12/12(土) 09:48:28 ID:CvV0i5UV

>>907
つづき

４．上記のように、ガロア理論で真に使えるガロア対応は、群Gに対して、その正規部分群Nとの対応になっているとき
　それ以外は大概クソです
　∵部分群の包含関係と体の包含関係が逆になっているから
　手元の足立恒雄の「ガロア理論講義 増補版」（日本評論社 2010）の記号で説明するよ
　（P108 系5.10 です）
　基礎体K、ガロア拡大体L、中間体M、で、対応するガロア群G、部分群Hとし、いま部分群H＝N(正規部分群)とする
　G＝Gal(L/K)で、Gal(L/M)＝G/N が成立
　つまり
　体：L⊃M⊃K
　群：e⊂N⊂G (ここで、eは{e}の略)
　なる対応で、再度強調すると、”Gal(L/M)＝G/N”成立
　これは、”部分群H＝N(正規部分群)”でなければ言えない
　（Cayleyの定理は、ガロア理論ではクソ。An(n≧5)は、単純群なので、基本的に”部分群H＝N(正規部分群)”とできないのです！！）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/908

909: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/12/12(土) 09:52:31 ID:CvV0i5UV

>>908
つづき

５．さて、ガロアの逆問題でいうと、
　上記の
　体：L⊃M⊃K
　群：e⊂N⊂G (ここで、eは{e}の略)
　なる対応で、”Gal(L/M)＝G/N”の部分に相当する問題
　つまり、群：e⊂H⊂G に戻ると、Hが正規部分群になるかどうか？ それは、Gを変えれば正規部分群にできるかもしれない
　しかし、G＝Snとかにすると、An(n≧5)は、有限単純群なのでクソ
　だから、「群：e⊂H⊂G」なんて考えずに、直接 群Hから体Mの構成を考えるべしってこと
　そういうことが、下記の三宅克哉先生に書いてある
　まあ、Cayleyの定理で終わらずに、さらに一歩進まないとね、「ガロア理論、分かってない」と言われるよね（＾＾；

（参考）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo15/
第15回数学史シンポジウム(2004.10.16?17)　　所報 26　2005
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo15/15_8miyake.pdf
三宅克哉　ガロアの逆問題について

なお、Cayleyの定理関連で、下記「群の置換表現」もご参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
対称群
5 群の置換表現

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8
群作用
G が群で X が集合であるとき、群作用は G から X の対称群への群準同型として定義することができる。この作用は群 G の各元に対して X の置換を以下のように割り当てる。
・群 G の単位元に対応する X 上の置換は、X 上の恒等変換である。
・群 G におけるふたつの元の積 gh に対応する X 上の置換は、g および h にそれぞれ対応する置換の合成である。
ここでは G の各元が置換として表現されているので、このような群作用は群の置換表現 (permutation representation) としても知られる。

群作用を考えることによって得られる抽象化は、幾何学的な考え方をより抽象的な対象にも応用できるという面で非常に強力である。
群作用の理論は（軌道-安定化群定理 (orbit stabilizer theorem) のような）適用範囲の広い定理を含み、さまざまな分野での深い結果を示すのに用いられる。
(引用終り)
以上

おサル、恥さらしありがとうｗ（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/909

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