純粋・応用数学(含むガロア理論)5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

907: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/12/12(土) 09:46:39 ID:CvV0i5UV

>>906
つづき

３．同じく、交代群An(n≧5)は有限単純群という理由で、Cayleyの定理（下記）による置換群の表現はガロア理論では、基本的には使えない
　ガロア理論では、Cayleyの定理はクソです。∵対称群Snを使うと、それは交代群Anを使うことになる。つまり、群Gを単純群Anに埋め込むことになってしまうので、クソ！
　（なお、下記”The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather difficult.[6][7]”ともあるよ（＾＾；）

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every finite group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]
The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group. For example, S3, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of S6 (a group of order 720).[5] The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather difficult.[6][7]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/907

908: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/12/12(土) 09:48:28 ID:CvV0i5UV

>>907
つづき

４．上記のように、ガロア理論で真に使えるガロア対応は、群Gに対して、その正規部分群Nとの対応になっているとき
　それ以外は大概クソです
　∵部分群の包含関係と体の包含関係が逆になっているから
　手元の足立恒雄の「ガロア理論講義 増補版」（日本評論社 2010）の記号で説明するよ
　（P108 系5.10 です）
　基礎体K、ガロア拡大体L、中間体M、で、対応するガロア群G、部分群Hとし、いま部分群H＝N(正規部分群)とする
　G＝Gal(L/K)で、Gal(L/M)＝G/N が成立
　つまり
　体：L⊃M⊃K
　群：e⊂N⊂G (ここで、eは{e}の略)
　なる対応で、再度強調すると、”Gal(L/M)＝G/N”成立
　これは、”部分群H＝N(正規部分群)”でなければ言えない
　（Cayleyの定理は、ガロア理論ではクソ。An(n≧5)は、単純群なので、基本的に”部分群H＝N(正規部分群)”とできないのです！！）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/908

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.028s