[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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69: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 23:11:36 ID:J8YoB+CX >>49 補足 ＞「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593） 下記の 物理のかぎしっぽ ”もういちどだけ内積・外積”では テンソルと内積は、全く別ものです テンソルは基底 ei ◯x ej を持つ 一方、内積は、下記 「1.もし i=j ならば， ei ◯x ei =1 とする． 2.もし i ne j ならば， ei ◯x ej =0 とする．」 の二つの条件で、 ei ◯x ejなる基底を潰してできたもの 繰返すが テンソルは、9 種類の独立な基底を持つ スカラーは基底を持たない （参考） http://hooktail.org/misc/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%B2%F2%C0%CF ベクトル解析 物理のかぎしっぽ http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/ もういちどだけ内積・外積 物理のかぎしっぽ （Joh著） (抜粋) 内積 基底の積 ei ◯x ej に関して，次のようなルールを決めることにします． 1.もし i=j ならば， ei ◯x ei =1 とする． 2.もし i ne j ならば， ei ◯x ej =0 とする． すると式 (1) は次のようになります． A ◯x B =a^1b^1e1 ◯x e1+a^2b^2e2 ◯x e2+a^3b^3e3 ◯x e3 =a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3 このルール 1 〜 2 を導入する場合は，特に ◯x の代わりに ・t と書くことにしましょう． A ・ B=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3 これはご存知の通り，内積に他なりません．内積とは『二つのベクトルがどれくらい似ているか』を示す量でしたが（ 内積空間 参照），上のルールは確かに似ているベクトルだけを選ぶという働きをしています． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/69

70: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 23:12:08 ID:J8YoB+CX >>69 つづく テンソル 私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．もう一度，式 (1) を眺めてみましょう． A ◯x B =(a^1e1+a^2e2+a^3e3) ◯x (b^1e1+b^2e2+b^3e3) =a^1b^1(e1 ◯x e1)+a^1b^2(e1 ◯x e2)+a^1b^3(e1 ◯x e3) +a^2b^1(e2 ◯x e1)+a^2b^2(e2 ◯x e2)+a^2b^3(e2 ◯x e3) +a^3b^1(e3 ◯x e1)+a^3b^2(e3 ◯x e2)+a^3b^3(e3 ◯x e3) （1) 基底として， ei ◯x ej の形のものが大量に出てきましたが，これらはこれ以上変形したり簡単には出来ない独立なものとして，そのままにしておきます．つまり，これらを 9 種類の独立な基底と考えるわけです． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/70

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