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純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/
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671: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:09:57 ID:V/gu0+4H >>670 つづき 群を指定して考える定式化もあるが，ここでは「全ての有限群が k 上のガロア群として実 現できるか ?」という場合のみを考える．Q 上のガロアの逆問題の最初の系統的なアプロー チは 1892 年の Hilbert [H] にさかのぼる．有名な既約性定理はこのために証明された． 例 1.6. 例えば C(t), R(t)，Q￣ (t), Qp(t), F￣ p(t) などの関数体上のガロアの逆問題は肯定的に 解かれている．代数体の場合は一般に難しいが，1992 年 Fried-V¨olklein [FV] により, 標数 0 可算 Hilbertian2 PAC -体3 上のガロアの逆問題が肯定的に解けることが証明された． 注） 2 体 K 上の r 変数有理関数体 K(t), t = (t1, ・ ・ ・ , tr), 上の既約分離多項式を fi(t, X), i = 1, ・ ・ ・ , m とする． 体 K が Hilbertian とは，a ∈ Kr が存在して，fi(t, X) は K 上定義され既約であることをいう． 3 体 K が PAC (pseudo algebraic closed) であるとは，K 上の絶対既約な代数多様体 V ≠ Φ に対して, V (K) ≠ Φ であることをいう. これと同値な条件: K 上の絶対既約な代数多様体 V に対して, V (K) は V 内で Zariski 稠密であること. 具体例には Q 上最大総実代数体に √?1 を添加した体がある．また 1996 年 Pop [P] により正標数の場合が証明された．4 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/671
672: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:10:21 ID:V/gu0+4H >>671 つづき Q の最大アーベル拡大 Qabの場合には Shafarevich により以下のように予想されている: 予想 1.7 (Shafarevich). Qab の絶対ガロア群は可算無限生成の自由副有限群である． Pop [P] により，この予想は Qab が large5 なら成り立つ．Qab は Hilbertian ではあるが， PAC ではない．また一部を除いたほとんどの有限単純群が Qab 上のガロア群として実現されることなども分っている． F￣p(t) の場合は Qab の関数体類似となっている．6 注）6 Q と Fp(t) の類似はよく知られており，Qab と F￣p(t) はどちらもそれらの最大円分拡大である． では Qab の代わりに，Q 上の最大可解拡大 Qsol の絶対ガロア群の構造はどのようになっ ているのであろうか．これは副有限群ではあるが，Qab のそれと違って可解商を持たないな ど変った構造をしており，自由性を定義することはできない．しかし，Shafarevich 予想を仮 定すると，自由ではないが自由に近いものであることが証明できる．正確には次を得る: 定理 1.8. k を体で, その絶対ガロア群が可算無限階数の自由副有限群であるようなものとす る. N を可解商を持たない有限群全てからなる類とすれば, k の最大可解拡大 ksol の絶対ガ ロア群は ω-N -自由副 N -群である. 詳しくは以下の節以降で説明していく． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/672
675: １３２人目の素数さん [sage] 2020/12/06(日) 10:22:34 ID:DTMWYA77 ケッサク！ >>662 ＞「基礎体はQでも固定された体でもなく動かしてもいい」 >>671 ＞「全ての有限群が k 上のガロア群として実現できるか ?」 雑談君は日本語が読めない（というか論理を全く読み取れない） さすが、正則行列を全く理解しなかった猛者だ（驚嘆！） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/675
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