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純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/
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670: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:08:55 ID:V/gu0+4H >>669 つづき （参考：ガロアの逆問題） http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/ueyama/wakate/2003/2003_ohtani.pdf 可算無限生成自由副有限群のある閉正規部分群 大溪幸子* (北大 理) 所属は講演当時 * e-mail address: sohtani@math 本稿は平成15年3 月1 日から3 日に岡山大学で行われた第 8 回代数若手研究会での講演 内容に基づくものである．研究会の主旨に沿えるよう，講演中には時間の都合上省略した基 本的な定義や注意についても述べる．まず第一節では副有限群の定義と問題の動機付けとも なったガロアの逆問題についてふれる．第ニ節では主結果を説明するために必要な副 C-群と 埋め込み問題について説明する．最後に第三節で証明の概要を述べる． G = lim←?Gi を副有限群とする. 各 Gi に離散位相を入れると G は位相群になり， 標準射影πi: G ?→ Gi は連続準同型となる．特に G はコンパクト，ハウスドルフ，完全不連結であり， 1 の基本近傍系は G の有限指数正規部分群で与えられる． 例 1.2. 副有限群の代表的な例として p 進有理整数環 Zp = lim←?Z/piZがある. ここで p は素数とする．このとき Zp 上 n 次元一般線形群 GLn(Zp) も GLn(Zp) = lim←?GLn(Z/piZ)のように自然に副有限群になる. SLn(Zp) なども同様． 例 1.3 (cf. [RZ], p. 71, Theorem 2.11.1). K を体 k 上の無限次ガロア拡大とすると， K は K に含まれる k 上の有限次ガロア拡大 Ki たちの合成体として表される: K =[K/Ki/kKi. このとき K の k 上のガロア群 Gal (K/k) は Gal (K/k) = lim←?Gal (Ki/k). と表せる． このように全ての (無限位数の)ガロア群は副有限群であるが，逆に，全ての副有限群は適 当な体のガロア拡大のガロア群として実現される．定理として以下に引用する: 定理 1.4 (Waterhouse [W]). G を副有限群とすると，ある体のガロア拡大 K/k が存在して，G は Gal (K/k) と同型.1 （注 [W] Waterhouse, W.C., Profinite groups are Galois groups, Proc. AMS 42 (1973), 639-640.） さて，ガロア群といえば次のガロアの逆問題が有名である: 問題 1.5 (k 上のガロアの逆問題). 基礎体 k を与える．H を任意の有限群としたとき，H をガロア群として持つような k 上の有限次ガロア拡大 K は存在するか ? つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/670
671: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:09:57 ID:V/gu0+4H >>670 つづき 群を指定して考える定式化もあるが，ここでは「全ての有限群が k 上のガロア群として実 現できるか ?」という場合のみを考える．Q 上のガロアの逆問題の最初の系統的なアプロー チは 1892 年の Hilbert [H] にさかのぼる．有名な既約性定理はこのために証明された． 例 1.6. 例えば C(t), R(t)，Q￣ (t), Qp(t), F￣ p(t) などの関数体上のガロアの逆問題は肯定的に 解かれている．代数体の場合は一般に難しいが，1992 年 Fried-V¨olklein [FV] により, 標数 0 可算 Hilbertian2 PAC -体3 上のガロアの逆問題が肯定的に解けることが証明された． 注） 2 体 K 上の r 変数有理関数体 K(t), t = (t1, ・ ・ ・ , tr), 上の既約分離多項式を fi(t, X), i = 1, ・ ・ ・ , m とする． 体 K が Hilbertian とは，a ∈ Kr が存在して，fi(t, X) は K 上定義され既約であることをいう． 3 体 K が PAC (pseudo algebraic closed) であるとは，K 上の絶対既約な代数多様体 V ≠ Φ に対して, V (K) ≠ Φ であることをいう. これと同値な条件: K 上の絶対既約な代数多様体 V に対して, V (K) は V 内で Zariski 稠密であること. 具体例には Q 上最大総実代数体に √?1 を添加した体がある．また 1996 年 Pop [P] により正標数の場合が証明された．4 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/671
686: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 21:59:28 ID:V/gu0+4H >>669 >”あの問題だって、大学時代、頭の中で考えて >「これは自明だな」と一瞬で分かった覚えがある。”（>>625） >は、すごいと思う反面、正確には、”自明”ではないよね。だって、沢山論文が出ていますよ（下記）（＾＾ いや、まあ"あの問題"ってのが、>>652より ”わたしが「任意の有限群をガロア群として持つガロア拡大が 存在することを示せ」という問題を出した” ってやつでしょ？ 私にはとても自明には思えなかったし、浮かんだのは”ガロア逆問題”だった で、当時も”ガロア逆問題”で調べたと思う で、今回ちょっと検索法を変えると、>>670 大溪幸子* (北大 理) 氏が検索ヒットしたわけ これを見ると、”問題 1.5 (k 上のガロアの逆問題). 基礎体 k を与える．H を任意の有限群としたとき，H をガロア群として持つような k 上の有限次ガロア拡大 K は存在するか ?” ”群を指定して考える定式化もあるが，ここでは「全ての有限群が k 上のガロア群として実 現できるか ?」という場合のみを考える．Q 上のガロアの逆問題の最初の系統的なアプロー チは 1892 年の Hilbert [H] にさかのぼる．” などと書かれている つまり、”「これは自明だな」と一瞬で分かった”っていうのは、才能だと思うけど そこで止まってしまったのが、>>670 大溪幸子* (北大 理) 氏などと照らし合わせると 残念だったかも知れないですね つまり、そこをもっと突っ込んだら、論文一つ書けたかもと思った次第です（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/686
711: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/08(火) 20:54:23 ID:uF/zzuI4 >>704 ＞有限群と無限群（を想定）という違いはありますが ＞有限集合（剰余類分解）への作用を考えるという ＞点は共通している。 ああ、それと、龍孫江さんのYoutubeも、あくまで有限群でしょ？ どっから、「有限群と無限群（を想定）という違いはありますが」ってなるの？ ？ >>670の大溪幸子* (北大 理) 氏の「可算無限生成自由副有限群のある閉正規部分群」かい？ 意味分からんな（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/711
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