純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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670: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/12/06(日) 10:08:55 ID:V/gu0+4H

>>669
つづき
（参考：ガロアの逆問題）
http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/ueyama/wakate/2003/2003_ohtani.pdf
可算無限生成自由副有限群のある閉正規部分群
大溪幸子* (北大 理) 所属は講演当時 * e-mail address: sohtani@math
本稿は平成15年3 月1 日から3 日に岡山大学で行われた第 8 回代数若手研究会での講演
内容に基づくものである．研究会の主旨に沿えるよう，講演中には時間の都合上省略した基
本的な定義や注意についても述べる．まず第一節では副有限群の定義と問題の動機付けとも
なったガロアの逆問題についてふれる．第ニ節では主結果を説明するために必要な副 C-群と
埋め込み問題について説明する．最後に第三節で証明の概要を述べる．

G = lim←?Gi を副有限群とする. 各 Gi に離散位相を入れると G は位相群になり，
標準射影πi: G ?→ Gi は連続準同型となる．特に G はコンパクト，ハウスドルフ，完全不連結であり，
1 の基本近傍系は G の有限指数正規部分群で与えられる．
例 1.2. 副有限群の代表的な例として p 進有理整数環
Zp = lim←?Z/piZがある.
ここで p は素数とする．このとき Zp 上 n 次元一般線形群 GLn(Zp) も
GLn(Zp) = lim←?GLn(Z/piZ)のように自然に副有限群になる. SLn(Zp) なども同様．
例 1.3 (cf. [RZ], p. 71, Theorem 2.11.1). K を体 k 上の無限次ガロア拡大とすると，
K は K に含まれる k 上の有限次ガロア拡大 Ki たちの合成体として表される:
K =[K/Ki/kKi.
このとき K の k 上のガロア群 Gal (K/k) は
Gal (K/k) = lim←?Gal (Ki/k).
と表せる．
このように全ての (無限位数の)ガロア群は副有限群であるが，逆に，全ての副有限群は適
当な体のガロア拡大のガロア群として実現される．定理として以下に引用する:
定理 1.4 (Waterhouse [W]). G を副有限群とすると，ある体のガロア拡大 K/k が存在して，G は Gal (K/k) と同型.1
（注 [W] Waterhouse, W.C., Profinite groups are Galois groups, Proc. AMS 42 (1973), 639-640.）
さて，ガロア群といえば次のガロアの逆問題が有名である:
問題 1.5 (k 上のガロアの逆問題). 基礎体 k を与える．H を任意の有限群としたとき，H
をガロア群として持つような k 上の有限次ガロア拡大 K は存在するか ?

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/670

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