純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/29(日) 18:01:22 ID:W+1qgd8S

>>540
>いまは、深リーマン予想だよ（>>525の本ご参照）

”深リーマン予想”下記

https://researchmap.jp/koyama/published_papers
小山 信也
https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
特集／素数の探求と拡がり 深リーマン予想 小山信也 数理科学12 2019
(抜粋)
5. ζ(s) の深リーマン予想
（式を略す）
左辺の分子は，ζ(s) のオイラー積表示のs = 1/2 における有限部分積であり，x →∞ のときに発散する．
この予想の第一の主張は，この発散の振る舞いが分母の振る舞いに等しいことであり，

8. 研究の経緯と展望
私が深リーマン予想に初めて触れたのは，2011年に物理学者の木村太郎氏と交わした議論がきっかけだった．
木村氏は，ある物理学的な要請から，臨界領域内でゼータ関数のオイラー積の対数微分を計算したところ，ちょうど非自明零点の付近で特異な挙動が観察されたということだった．
臨界領域内でもオイラー積の値に意味があるのだろうかとの質問を，数学者である私に投げかけてきてくれたのであった．
当時，オイラー積を臨界領域内で考察する研究は，ほとんどなされていなかった．
私は，木村氏の質問に即答できなかったため，師匠であり共同研究者である黒川信重氏に質問をしたところ，それはゴールドフェルドが1980 年代に提唱した予想に関連するだろうとのことだった．

ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，その予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書4)を著した．
そこでは，ミレニアム問題として有名なバーチ-スウィンナートン・ダイヤー予想が，原典をたどると深リーマン予想に言及していた事実も指摘されている．
一方，私は，有限体上の一変数関数体に対し，深リーマン予想の類似となる定理を証明する研究を，木村氏，黒川氏らとともに論文6)7) で行った．
さらに，最近は金子生弥氏との共著論文5)で，SL(2;Z) などのセルバーグ・ゼータ関数のオイラー積について，臨界領域内での収束性や素測地線定理の精密化との関係を解明した．
このように，深リーマン予想の関連研究には今なお多くの進展がみられる．今後，深リーマン予想が素数の見方に変革をもたらし，整数論の発展に寄与することを願うものである．
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/547

548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/29(日) 18:13:34 ID:W+1qgd8S

>>547
> 5. ζ(s) の深リーマン予想
>（式を略す）
>左辺の分子は，ζ(s) のオイラー積表示のs = 1/2 における有限部分積であり，x →∞ のときに発散する．
>この予想の第一の主張は，この発散の振る舞いが分母の振る舞いに等しいことであり，

この話は
超弦理論で、超対称性を仮定すると
フェル粒子とボソン粒子が、対に存在して
その作用が、うまく打ち消しあって、
普通は発散する量が、有限値に収束するという話
を連想させるね

リーマン予想と、量子力学との関連も指摘されている
なかなか面白い話ですね〜（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
リーマン予想
(抜粋)
作用素理論
詳細は「ヒルベルト?ポリヤ予想（英語版）」を参照

1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティング（英語版）は古典ハミルトニアン H = xp のある未知の量子化 {\displaystyle {\hat {H}}}\hat H が存在して、以下を満たすと予想した。
略
あるいはさらに強く、リーマンの零点が作用素 {\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}1/2+i{\hat  H} のスペクトルと一致する。これは正準量子化と対照的である。標準量子化はハイゼンベルクの不確定性原理 {\displaystyle [x,p]=1/2}[x,p]=1/2 を導き、量子調和振動子（英語版）のスペクトルとして自然数が得られる。重要な点は、ハミルトニアンは量子化がヒルベルト?ポリヤプログラムの実現であるように自己共役作用素であるべきことである。この量子力学の問題との関連で、ベリーとコンヌは以下を提案した。

Zagier (1981) はラプラス作用素の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値をもつ上半平面上の不変関数の自然な空間を構成した。そして、この空間上の適切な正定値内積の存在を示すというありそうもないイベントにおいてリーマン予想が従うことを注意した。Cartier (1982) は関連した例を議論した。奇妙なバグによってコンピュータープログラムが同じラプラス作用素の固有値としてリーマンゼータ関数の零点をリストするのである。

Schumayer & Hutchinson (2011) はリーマンゼータ関数に関連した適切な物理模型を構成する試みのいくつかをサーベイした。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/548

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