純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/29(日) 18:01:22 ID:W+1qgd8S

>>540
>いまは、深リーマン予想だよ（>>525の本ご参照）

”深リーマン予想”下記

https://researchmap.jp/koyama/published_papers
小山 信也
https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
特集／素数の探求と拡がり 深リーマン予想 小山信也 数理科学12 2019
(抜粋)
5. ζ(s) の深リーマン予想
（式を略す）
左辺の分子は，ζ(s) のオイラー積表示のs = 1/2 における有限部分積であり，x →∞ のときに発散する．
この予想の第一の主張は，この発散の振る舞いが分母の振る舞いに等しいことであり，

8. 研究の経緯と展望
私が深リーマン予想に初めて触れたのは，2011年に物理学者の木村太郎氏と交わした議論がきっかけだった．
木村氏は，ある物理学的な要請から，臨界領域内でゼータ関数のオイラー積の対数微分を計算したところ，ちょうど非自明零点の付近で特異な挙動が観察されたということだった．
臨界領域内でもオイラー積の値に意味があるのだろうかとの質問を，数学者である私に投げかけてきてくれたのであった．
当時，オイラー積を臨界領域内で考察する研究は，ほとんどなされていなかった．
私は，木村氏の質問に即答できなかったため，師匠であり共同研究者である黒川信重氏に質問をしたところ，それはゴールドフェルドが1980 年代に提唱した予想に関連するだろうとのことだった．

ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，その予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書4)を著した．
そこでは，ミレニアム問題として有名なバーチ-スウィンナートン・ダイヤー予想が，原典をたどると深リーマン予想に言及していた事実も指摘されている．
一方，私は，有限体上の一変数関数体に対し，深リーマン予想の類似となる定理を証明する研究を，木村氏，黒川氏らとともに論文6)7) で行った．
さらに，最近は金子生弥氏との共著論文5)で，SL(2;Z) などのセルバーグ・ゼータ関数のオイラー積について，臨界領域内での収束性や素測地線定理の精密化との関係を解明した．
このように，深リーマン予想の関連研究には今なお多くの進展がみられる．今後，深リーマン予想が素数の見方に変革をもたらし，整数論の発展に寄与することを願うものである．
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/547

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