[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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49: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 11:43:59 ID:J8YoB+CX 前スレより 純粋・応用数学（含むガロア理論）4 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598748159/766 (抜粋) 自分で言ったこと覚えているか？ 「行列式はテンソルです」(>>576) 「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593） って、言ったよね (引用終り) これ、前スレからだが、再度潰しておく（＾＾ １．話を簡単にするために、内積を取り上げる ２．内積は、下記のように、”直積 (ベクトル) 内積との対比” にあるように、二つのベクトルのテンソル積から成る行列のトレースで、スカラー ３．一方、二つのベクトルのテンソル積からできるテンソル空間の元としてのテンソルは、元の一つのベクトル空間よりも、その次元は大きい ４．よって、二つのベクトルの内積たるスカラーが、二つのベクトルのテンソル積からできる テンソル空間の元としてのテンソル には、成り得ない！ 　但し、”直積 (ベクトル) 内積との対比” にあるように、両者にはある関係が成立している のですが ＱＥＤ 以上（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB) 直積 (ベクトル) (抜粋) 直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。 内積との対比 m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）<u, v> = uT v である。内積は外積のトレースに等しい。 （注：uTは、ベクトルuの転置。つまり、いまベクトルu, vは列ベクトルで、uTはuを行ベクトルにしている） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/49

50: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 11:44:19 ID:J8YoB+CX >>49 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D テンソル積 共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ◯xK W（基礎の体 K が明らかな時には V ◯x W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。 定義 商としての定義 一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、 略 で与えられる同値関係 ? による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ◯x W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。 普遍性 テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される。ベクトル空間のテンソル積は以下の普遍性を満たす: テンソル積の普遍性 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/50

51: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 11:45:53 ID:J8YoB+CX >>49 補足 ＞ ２．内積は、下記のように、”直積 (ベクトル) 内積との対比” にあるように、二つのベクトルのテンソル積から成る行列のトレースで、スカラー 行列式も、内積同様の説明が可能です が、長くなるので、また機会があればね（＾＾； （過去スレでは、書いてあるが（＾＾ ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/51

69: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/11(日) 23:11:36 ID:J8YoB+CX >>49 補足 ＞「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593） 下記の 物理のかぎしっぽ ”もういちどだけ内積・外積”では テンソルと内積は、全く別ものです テンソルは基底 ei ◯x ej を持つ 一方、内積は、下記 「1.もし i=j ならば， ei ◯x ei =1 とする． 2.もし i ne j ならば， ei ◯x ej =0 とする．」 の二つの条件で、 ei ◯x ejなる基底を潰してできたもの 繰返すが テンソルは、9 種類の独立な基底を持つ スカラーは基底を持たない （参考） http://hooktail.org/misc/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%B2%F2%C0%CF ベクトル解析 物理のかぎしっぽ http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/ReviewVectorProds/ もういちどだけ内積・外積 物理のかぎしっぽ （Joh著） (抜粋) 内積 基底の積 ei ◯x ej に関して，次のようなルールを決めることにします． 1.もし i=j ならば， ei ◯x ei =1 とする． 2.もし i ne j ならば， ei ◯x ej =0 とする． すると式 (1) は次のようになります． A ◯x B =a^1b^1e1 ◯x e1+a^2b^2e2 ◯x e2+a^3b^3e3 ◯x e3 =a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3 このルール 1 〜 2 を導入する場合は，特に ◯x の代わりに ・t と書くことにしましょう． A ・ B=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3 これはご存知の通り，内積に他なりません．内積とは『二つのベクトルがどれくらい似ているか』を示す量でしたが（ 内積空間 参照），上のルールは確かに似ているベクトルだけを選ぶという働きをしています． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/69

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