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純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/
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448: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/26(木) 23:38:04 ID:bFYWKyQY ID:1lEWVa2sさん、お疲れでやんす ・失敗は成功のもとです ・ab+a+b の話は、なかなか面白いと思った 寡聞にして、聞いたことが無かった。つーか、意味が分からなかった ・いま思うと、 数学パズルには、なると思うな ・例えば、 1以上の2つの整数a,bで、x=ab+a+b とおくと、x=5 なら、a=1、b=2 で実現できる しかし、6は、x=6となる （a、b）の組は存在しない。10も同様に （a、b）の組は存在しない この数学的理由を述べよ のようにね ・因みに、現代数学の難しそうな理論でも、 分かってしまえば、殆ど自明ということが結構ある ・古くは、ガウスがDAで展開した、正多角形が定規とコンパスで幾何的に作図できる理論とかね 要するに、方程式 x^n=1 の 複素数根の問題に移して、これが平方根（つまりは√）で解ける条件を明らかにしたのだが ・ガウスがDAで示した理論は確かに素晴らしいが、 一方で分かってしまえばコロンブスの卵だと思えなくもない ・というか、ある部分では感心しても、一方では、”なんだ、コロンブスの卵だ”と思って、自分も何か出来ないかと考えるのが正しい態度なのです （私にはできないけど、数オリ金メダルクラスなら可能かも） 失敗は成功のもとで、 ”コロンブスの卵”探しは、これからも、続けるのがよろしいかと思いますです（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/448
449: ID:1lEWVa2s [sage] 2020/11/27(金) 01:50:40 ID:wQYXVQlx >>448 おっす。 ありがとうございます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/449
450: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/27(金) 05:13:11 ID:zGwfB9Fg >>448 >・ガウスがDAで示した理論は確かに素晴らしいが、 > 一方で分かってしまえばコロンブスの卵だと思えなくもない しかし、雑談氏は絶対に理解していないと思う。 ガウスの理論を完璧に理解したアーベルは、そこから アーベル方程式の概念を抽出して、それが同様にべき根で 解けることを示したし（「アーベル群」などの用語はこの 業績による）、ガロアはさらに一般的に考えて、ガロア理論 に通じる論理を見出した。 ガウス自身は、そこで用いたガウスの和を後に数論に応用して 平方剰余の相互法則に数通りの証明を与える。 ヤコビやアイゼンシュタインは、そこからさらに3次や4次 高次相互法則の証明を見出した。 スティッケルベルガーは、ガウスの和の素イデアル分解を 詳しく調べて「スティッケルベルガーの定理」を得たが これは後に岩澤理論への重要なヒントとなった。 このように、ガウスの理論はコロンブスの卵などではなく 汲めども尽きぬアイデアの源泉だったのであり、天才の 作品としか言い様がないものである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/450
473: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/27(金) 11:21:31 ID:fvv3x6JJ >>471 >ただp-1がab+a+bで表せれない数という定義(証明すれば定理)は無意味じゃないと僕は思いますが。 補足 （証明） 命題：p-1がab+a+bで表せれない数、但し、a,bは１以上の整数、つまり 1<= a,bの整数 とする １．>>448 1以上の2つの整数1<= a,bで、x=ab+a+b とおく ２．x+1=ab+a+b+1=(1+a)(1+b) と書ける ３．A=1+a、B=1+bとおくと、 2<= A, Bで x+1＝A・B となる ４．x+1が合成数ならば、A・Bと二つの数の積に書けるのは当然で その二つの数A、Bから、a、b が求まるので、x=ab+a+bは存在する ５．一方、x+1が素数ｐならば、2<= A, BでA・Bと二つの数の積には書けない A<=Bとして、A=1でなければならない。このとき、B=ｐである よって、a=A-1=0、ｂ＝B-1=p-1だから、x=p-1である 0<= a,b と範囲を0まで拡大すれば、上記のように表現できる QED （＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/473
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