[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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407: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 18:10:07 ID:xl9Agv/6 >>405 >>406 Step 2 f(a,b)≡0 (mod p)を満たす互いに素な整数a,bの組が存在するような p∈D が存在していたと仮定し, (これは背理法のための仮定である) そのようなpでとくに最小なものを改めてpとおき f(a,b)≡0 (mod p) が成立しているとする このとき, gcd(ab,p)=1 はすぐに確認できる nb≡a (mod p)を満たす整数nを取る 0≡f(a,b)≡f(nb,b)≡b^3*f(n,1) (mod p) より f(n,1)≡0 (mod p) がいえる 鳩ノ巣論法により nt≡s (mod p)を満たす整数s,tの組であって, 0＜t＜√p, 0＜s＜√p を満たすものが取れる. s,tの最大公約数をdとすると gcd(d,p)=1 に注意して n(t/d)≡(s/d) (mod p) が成立している よって s,tは互いに素としても一般性を失わない. このとき f(s,t)≡f(nt,t)≡t^3*f(n,1)≡0 (mod p) さらに |f(s,t)|=|s^3-3st^2+t^3|＜p^(3/2) (ここの不等式は解析になるが高校数学の範囲で示せる 一方で,ここの評価を,雑に,例えば 5p^(3/2) とすると 後に p＜25の範囲で個別調査する必要が生じてしまう) f(s,t)≡±1 (mod 9) のとき f(s,t)/p の素因数でDに属さないものが存在する したがって pの最小性から p^2≦|f(s,t)| がいえるので さっきの不等式とあわせて p^2＜p^(3/2) よって √p＜1 となり 矛盾となる f(s,t)≡±3 (mod 27) のとき f(s,t)/(3p) の素因数でDに属さないものが存在する さっきと同様に矛盾が得られる 以上により いずれの場合も矛盾が得られるので したがって 題意は示されたといえる ■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/407

409: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/23(月) 05:12:50 ID:RH5orda/ >>405-408 なるほど。初等的であってもちゃんと証明するとなるとなかなかに大変な議論ですね。 わたしなどはどうしても「群構造を使ってラクをしよう」と思うのですが笑 確かに、そんな構造がないときや、予め分かってないときは困りそうです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/409

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