[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割 ﾚｽ栞
抽出解除 ﾚｽ栞

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

405: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 18:05:08 ID:xl9Agv/6 >>384 そうですね 有限体の論を用いるならそのようになりますね x^2+x+1 の問題と同様の方法でやろうとすると ζ + 1/ζ ∈ F_p とは限らないので(ζはF_pの代数閉包の中の1の原始9乗根) 最低でもF_pの2次拡大を考えることになります しかしながら まったく別の発想の解法があります もちろん 完全に初歩的な方法です (Step 1で初等数論のオイラーの定理を使ってるが そこの部分は本質ではないし 利用する必要もない) Step 2を見ればわかるとおり 不等式と鳩ノ巣論法(Thueの方法)のあわせ技が本質です 以下の方法は初等数論のしかも基礎だけで収まります [回答例] q≡±1,3(mod 9)を"満たさない"素数q全部の集合をDとおく f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 とおく f(x,1) = x^3-3x+1 であるので 任意の互いに素な整数a,bの組に対して f(a,b)の素因数すべてがDに"含まれない"ことを示せば十分 まずはStep 1 です ここの部分は重要でないので 示すべき合同式だけをみて Step 2 まで飛ばしても構いません 本文が長すぎるので 次の投稿で Step 1 そのつぎの投稿で Step 2 とわけます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/405

406: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 18:07:39 ID:xl9Agv/6 >>405 Step 1 任意の互いに素な整数a,bの組に対して f(a,b)≡±1(mod 9) あるいは f(a,b)≡±3(mod 27) が成立する (これは力技で示してもいいが多少の工夫をする) 以下はそれの証明である : rを3と互い素な任意の整数とすれば r^(φ(9))≡1 (mod 9) ここでφ(9)=6 であるから r^6≡1 (mod 9) となるので (r^3+1)(r^3-1)≡0 (mod 9) より r^3≡±1(mod 9)を得る また,f(r,1)≡ -1,3 (mod 9)であることも確認できる (r=±1,±2,±4 の6通りを試せばよい) aが3で割り切れるとき f(a,b)≡b^3≡±1(mod 9) bが3で割り切れるとき f(a,b)≡a^3≡±1(mod 9) aもbも3で割り切れないとき, bc≡1 (mod 9)を満たす整数cを取れば c^3*f(a,b) ≡ f(ac,1)≡-1,3 (mod 9) よって, f(a,b)≡±1,±3 (mod 9) f(a,b)≡±3 (mod 9) のときを考える このとき f(a,b)≡±3(mod 27) を示せばよい 0≡f(a,b)≡a^3-3ab^2+b^3≡a+b (mod 3) だから (a+b)^3≡3b(a+b)^2≡0 (mod 27) f(a,b)-(a+b)^3+3b(a+b)^2 = 3b^3 とあわせて f(a,b)≡3b^3 (mod 27)　が得られるので したがって f(a,b)≡±3(mod 27) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/406

407: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 18:10:07 ID:xl9Agv/6 >>405 >>406 Step 2 f(a,b)≡0 (mod p)を満たす互いに素な整数a,bの組が存在するような p∈D が存在していたと仮定し, (これは背理法のための仮定である) そのようなpでとくに最小なものを改めてpとおき f(a,b)≡0 (mod p) が成立しているとする このとき, gcd(ab,p)=1 はすぐに確認できる nb≡a (mod p)を満たす整数nを取る 0≡f(a,b)≡f(nb,b)≡b^3*f(n,1) (mod p) より f(n,1)≡0 (mod p) がいえる 鳩ノ巣論法により nt≡s (mod p)を満たす整数s,tの組であって, 0＜t＜√p, 0＜s＜√p を満たすものが取れる. s,tの最大公約数をdとすると gcd(d,p)=1 に注意して n(t/d)≡(s/d) (mod p) が成立している よって s,tは互いに素としても一般性を失わない. このとき f(s,t)≡f(nt,t)≡t^3*f(n,1)≡0 (mod p) さらに |f(s,t)|=|s^3-3st^2+t^3|＜p^(3/2) (ここの不等式は解析になるが高校数学の範囲で示せる 一方で,ここの評価を,雑に,例えば 5p^(3/2) とすると 後に p＜25の範囲で個別調査する必要が生じてしまう) f(s,t)≡±1 (mod 9) のとき f(s,t)/p の素因数でDに属さないものが存在する したがって pの最小性から p^2≦|f(s,t)| がいえるので さっきの不等式とあわせて p^2＜p^(3/2) よって √p＜1 となり 矛盾となる f(s,t)≡±3 (mod 27) のとき f(s,t)/(3p) の素因数でDに属さないものが存在する さっきと同様に矛盾が得られる 以上により いずれの場合も矛盾が得られるので したがって 題意は示されたといえる ■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/407

409: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/23(月) 05:12:50 ID:RH5orda/ >>405-408 なるほど。初等的であってもちゃんと証明するとなるとなかなかに大変な議論ですね。 わたしなどはどうしても「群構造を使ってラクをしよう」と思うのですが笑 確かに、そんな構造がないときや、予め分かってないときは困りそうです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/409

---

ﾒﾓ帳

(0/65535文字)

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

Google検索

Wikipedia

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.029s