[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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384: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 06:59:07 ID:22xXPTDc >>378 有限体を使うのかな？ 「ζを1の原始9乗根として ζ + 1/ζ の最小多項式は x^3-3x+1」 とタネ明かしされているので 「x^3-3x+1がZ/pZ=F_p上で一次式の積に分解する」 ⇔x^6+x^3+1（ζの最小多項式）がF_p^2上で一次式の積に分解する ⇔|(F_p^2)^*|=p^2-1 が9で割り切れる ⇔p≡±1 (mod 9) となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/384

405: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 18:05:08 ID:xl9Agv/6 >>384 そうですね 有限体の論を用いるならそのようになりますね x^2+x+1 の問題と同様の方法でやろうとすると ζ + 1/ζ ∈ F_p とは限らないので(ζはF_pの代数閉包の中の1の原始9乗根) 最低でもF_pの2次拡大を考えることになります しかしながら まったく別の発想の解法があります もちろん 完全に初歩的な方法です (Step 1で初等数論のオイラーの定理を使ってるが そこの部分は本質ではないし 利用する必要もない) Step 2を見ればわかるとおり 不等式と鳩ノ巣論法(Thueの方法)のあわせ技が本質です 以下の方法は初等数論のしかも基礎だけで収まります [回答例] q≡±1,3(mod 9)を"満たさない"素数q全部の集合をDとおく f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 とおく f(x,1) = x^3-3x+1 であるので 任意の互いに素な整数a,bの組に対して f(a,b)の素因数すべてがDに"含まれない"ことを示せば十分 まずはStep 1 です ここの部分は重要でないので 示すべき合同式だけをみて Step 2 まで飛ばしても構いません 本文が長すぎるので 次の投稿で Step 1 そのつぎの投稿で Step 2 とわけます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/405

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