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純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/
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378: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 01:23:13 ID:xl9Agv/6 類題をあげておきましょう もちろん完全に初等的な方法で解けます: (1) nを正の整数とし, n^3-3n+1の素因数をpとする. このとき, p=3 か p≡±1 (mod 9) であることを証明せよ (2) (1)を用いて 9k-1型の素数が無限個存在することを示せ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/378
384: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 06:59:07 ID:22xXPTDc >>378 有限体を使うのかな？ 「ζを1の原始9乗根として ζ + 1/ζ の最小多項式は x^3-3x+1」 とタネ明かしされているので 「x^3-3x+1がZ/pZ=F_p上で一次式の積に分解する」 ⇔x^6+x^3+1（ζの最小多項式）がF_p^2上で一次式の積に分解する ⇔|(F_p^2)^*|=p^2-1 が9で割り切れる ⇔p≡±1 (mod 9) となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/384
412: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/23(月) 09:50:58 ID:RH5orda/ ちなみに>>378の >(2) (1)を用いて 9k-1型の素数が無限個存在することを示せ は、Π=Π_{p:素数, p≦X}pに対して x=-Πと代入して、x^3-3x+1=-(Π^3-3Π-1) において、Π^3-3Π-1>0の素因数を考えればいいのかな？ 3では割れないから、素因数は9n±1型素数だが Π^3-3Π-1>0は9n-1型整数だから、少なくとも一つの9n-1型素数を含む。 ここまで見通した上で即座に出題されたのは流石。 余談 X以下の素数の集合を共通元を持たない2組S_1, S_2に分けて Π_1=Π_{p∈S_1}p, Π_2=Π_{p∈S_2}p として、Π1+Π2 という数を作っても、X以下のどの素数でも割れない数が出来る。 某板で、こういう「ユークリッド式の亜種」の話が延々と続いていたことがあった...。 （トンデモスレだったのだが、上の式は才能あるひとが一瞬で見出した。） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/412
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