[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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373: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 00:14:15 ID:xl9Agv/6 >>347 問1はつぎの解法が"初等的"ではある 相互法則やガウス和の利用を回避できるところがポイント x^2+x+1 の素因数pを任意に取る. p＞3 であるとしよう. このとき xとpは互いに素である.(さもなくば p|1 となり矛盾) このとき, p≡1 (mod 6)であることを示したい. まず x^2+x+1≡0 (mod p) ...(1) が成立している (1)の両辺にx-1を掛けることで x^3≡1 (mod p) ...(2) s=ord_p(x)とおくと sは3の正の約数であるから sは1か3である s=1 とすると x≡1(mod p) だが このとき (1)より 3≡0 (mod p) よって p=3 となるが 仮定により p＞3 だから この場合は不適 なので s=3 としてよい 一方 フェルマの小定理より x^(p-1)≡1 (mod p) ここで s=3 すなわち ord_p(x)=3 より 3|p-1 が導かれる 証明ここまで 参考までに ord という記号について説明する 一般に pを素数, aをpと互いに素な整数とするとき これは a^e≡1 (mod p)を満たす最小の正の整数eをord_p(a)で定める a^u≡1 (mod p)なる自然数uを任意に取るとき 必ず uはord_p(a)で割り切れる この事実は簡単に証明できる 証明の方針をいうとZがユークリッド環であること, もっというと除法の原理を用いればよい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/373

375: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/22(日) 00:36:14 ID:22xXPTDc >>373 正解です。 「(Z/pZ)^× は位数p-1の巡回群である」を先に証明しておけば 単なる群論的性質ですね。 pが6n+5型のときは、3乗して1になる(Z/pZ)^×の元は存在しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/375

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