[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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351: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/21(土) 09:39:30 ID:lRGvl6il >>342 補足 １）x：＝ab+a+b 　↓↑ ２）x+1＝ab+a+b+1＝(a+1)(b+1) 　↓↑ ３）x+1＝AB ｜A＝(a+1),B＝(b+1) これ、現代数学の常套手段でもあります つまり、 ・１）の世界で ab+a+b を眺めていても、なかなか正体が見えない ・そこで、３）の世界へ移す。二数の積ABとして捉えると、正体がすっきり見える ・さらに、”a,b 正整数”の世界から、数の範囲を広げて、0（ゼロ）を入れる 　（ゼロは古代インドで考えられたそうだ。古代ギリシャ、ユークリッドは知らなかった？） ・そして、0（ゼロ）を含めた非負整数に拡張することで、a＝0が使え、そしてA＝1が使えて、”ab+a+b”の正体がすっきり見える これ、現代数学の常套手段でもあります １）〜３）の世界を行ったり来たり （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/0 文字 0 によって表されるものは、何もないことに対応する基数（自然数[注 1]）であり、1 の直前の序数（順序数）であって、最小の非負整数である。 歴史 0 の起源 アルキメデスは「ある数とある数を足せば、結果は元の数より大きくなる」という「アルキメデスの公理」を定立したが、足しても増えない性質を持つゼロは、この公理上、数ではないことになる[注 3]。古代ギリシア人は「ο」を単に小数点のような位取りを表す補助記号として使い、数のうちに含めなかった。ギリシア数字にはゼロを示す文字がなく、ギリシャの数体系を継承したローマ数字にもゼロにあたる数字がない。 古代西洋で 0 の概念が受容されなかったのは、その宇宙観によるところが大きかった。アリストテレスは「自然は真空を嫌う」と宣言し、空間は必ず何らかの物質が充満しているとして真空、つまり「無」の存在を認めなかった。またアリストテレスは、宇宙を地球を中心にする球である天球と定義し、有限なものと考えた。この哲学からは「無」と「無限」は認められなかった[11]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/351

353: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/21(土) 09:57:30 ID:lRGvl6il >>351 追加 数の範囲の拡張も 現代数学の常套手段 数に限らず 関数概念の拡張とか 微分の拡張とか 測度概念の拡張とかね ”拡張”がキーワードですね 現代数学の http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/353

354: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/21(土) 10:16:10 ID:1h1BAbXo >>351 >１）x：＝ab+a+b >　　↓↑ >２）x+1＝ab+a+b+1 >　　↓↑ >３）x+1＝AB ｜A＝(a+1),B＝(b+1) >これ、現代数学の常套手段でもあります 羊頭狗肉 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/354

369: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/21(土) 23:20:45 ID:lRGvl6il >>351 (引用開始) これ、現代数学の常套手段でもあります つまり、 ・１）の世界で ab+a+b を眺めていても、なかなか正体が見えない ・そこで、３）の世界へ移す。二数の積ABとして捉えると、正体がすっきり見える １）〜３）の世界を行ったり来たり (引用終り) （補足） １例を挙げれば、フーリエ変換（下記） 微分方程式を代数方程式に変換することができて、代数方程式を解いて、その解を逆フーリエ変換して、もとの微分方程式の解を得ることができる 古典ガロア理論が、もう一つの例 代数方程式の根のありようを、体の拡大とその自己同型群の世界に移す。そこでは、ベキ根解法は、巡回群を意味するので、一般の５次の代数方程式がベキ根で解けるか否かが見えてくるのです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B フーリエ変換 応用 微分方程式の解析学 フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。 f(x) を可微分函数で、そのフーリエ変換を ^f(ξ) とすると、導函数のフーリエ変換が 2πiξ^f(ξ) で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。 このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/369

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