純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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297: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 11:45:23 ID:4jX6N+0z

>>293
>ファルティングスのモーデル予想の証明

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/notes130731.pdf
アーベル多様体と数論1 田口雄一郎
これは2013年7月28日（日）の九州大学公開講座「現代数学入門」のための講義資料
2.5.モーデル予想(ファルティングスの定理[3],1983年).

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/54/2/54_2_113/_pdf/-char/ja
論説
アラケロフ幾何から見たディオファントス幾何
森脇淳*) (2002年2月6日提出) *)2001年10月4日九州大学における総合講演者

5課題・展望
5.2
abc予想など同等の予想がいろいろあるが,ここでは,曲線上の有理点の高さという観点から,高さ不等式の予想をあげたい.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
モーデル予想(Mordellconjecture)は、Mordell(1922)で提出された予想で、有理数体Q上に定義された1よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である

背景
CをQ上の種数gの非特異代数曲線とすると、Cの有理点の集合は次のように決定することができる。
・g=0の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個：Cは円錐の断面（英語版）である。
・g=1の場合：全く点が存在しないか、もしくはCが楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell'sTheorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weiltheorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
・g>1の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。Cは有限個の有理点しか持たない。

証明
ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(PaulVojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(EnricoBombieri)が与えた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/297

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