純粋・応用数学(含むガロア理論)5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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189: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 13:10:08 ID:+YNi1Ynu

>>188
つづき

701 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/10/28(水) 00:02:25.49 ID:a/w52AlF [1/2]
>>700
まあ、こういう情報は日本語では少ない。やっぱ英語ですね
で、日本語wikipediaから英語版へ飛んでさぐると、下記のＰＤＦに遭遇
数式処理 Mapleで、Sun Ultrasparc I workstation つかって Ｐ＝101まで計算している
その結論が、table １だ。で、p=23下記に抜粋した。細かく読んでないけど（つまり数値の意味がフォローできていないが）、
p=23辺りから、式が膨大に膨れあがって、サイズ的に紙に書けなくなっている気がするな（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
円分多項式

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial
Cyclotomic polynomial

https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
Root of unity

Notes
6^
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c080d78ddb6bf437db6ba043144f8715ad9d86e7
Maple Tech 1999
Solving Cyclotomic Polynomials by Radical Expressions
Andreas Weber and Michael Keckeisen
(抜粋)
Abstract: We describe a Maple package that allows the solution of cyclotomic polynomials by radical
expressions. We provide a function that is an extension of the Maple solve command.

How to Use the Library
The library is included in the file ‘radsolvelib‘. read ‘radsolvelib‘:

Practical Limitations of the Algorithm
Compared to [2] the implementation of the main algorithm
has been optimized. For results in Table 1 we applied radsolve on all cyclotomic polynomials of (prime) degree up to 101 on a Sun Ultrasparc I workstation.

Table 1: Summary of Computations
The following computations times refer to our Maple implementation of the algorithm on a Sun Ultrasparc I workstation.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/189

190: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 13:10:53 ID:+YNi1Ynu

>>189
つづき

p＝23
p-1＝2・11
comp.time (in sec.) 34
size of term (tree rep.)
rational operations 7941 radical operations 442

size of term (dag rep.)
rational operations 323 radical operations 5

702 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/10/28(水) 00:14:16.80 ID:a/w52AlF [2/2]
>>701

UltraSPARC I ね
いまから見ると、しょぼい10万円以下のPCの方が性能上でしょうね
Mapleでなくとも、類似のことはできそうに思う
（自分はできないけど（＾＾　）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/SPARC
SPARC

SPARCマイクロプロセッサ仕様
UltraSPARC I 143?200 MHz 1995

703 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/10/28(水) 12:01:34.06 ID:+YNi1Ynu [1/2]
>>701 訂正URL

Notes
6^
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c080d78ddb6bf437db6ba043144f8715ad9d86e7
Maple Tech 1999
Solving Cyclotomic Polynomials by Radical Expressions
Andreas Weber and Michael Keckeisen
　↓
正しいURL
https://cg.cs.uni-bonn.de/personal-pages/weber/publications/pdf/WeberA/WeberKeckeisen99a.pdf
です
失礼しました（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/190

192: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 16:29:38 ID:+YNi1Ynu

>>189
>で、日本語wikipediaから英語版へ飛んでさぐると、下記のＰＤＦに遭遇
>数式処理 Mapleで、Sun Ultrasparc I workstation つかって Ｐ＝101まで計算している

同じように英語情報を調べると、”Root-finding algorithms”en.wikipediaがあって
”5.3 Finding all roots at once ”で、複素数解も一気に見つける方法があるらしいね
”Durand?Kerner”とか”Aberth method”とか
ガウスのDAは偉大ではあるけれども、それだけで終わったら、時代錯誤でしょう（＾＾

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithms
Root-finding algorithms
(抜粋)
5 Roots of polynomials
5.3 Finding all roots at once
The simple Durand?Kerner and the slightly more complicated Aberth method simultaneously find all of the roots using only simple complex number arithmetic. Accelerated algorithms for multi-point evaluation and interpolation similar to the fast Fourier transform can help speed them up for large degrees of the polynomial. It is advisable to choose an asymmetric, but evenly distributed set of initial points. The implementation of this method in the free software MPSolve is a reference for its efficiency and its accuracy.

5.4 Exclusion and enclosure methods
Several fast tests exist that tell if a segment of the real line or a region of the complex plane contains no roots. By bounding the modulus of the roots and recursively subdividing the initial region indicated by these bounds, one can isolate small regions that may contain roots and then apply other methods to locate them exactly.
All these methods involve finding the coefficients of shifted and scaled versions of the polynomial. For large degrees, FFT-based accelerated methods become viable.
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/192

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