純粋・応用数学(含むガロア理論)5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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187: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 11:50:05 ID:+YNi1Ynu

>>186 補足

https://mathtrain.jp/algebrabasic
代数学の基本定理とその初等的な証明 高校数学の美しい物語 2020/01/04
(抜粋)
代数学の基本定理の証明
f(x)=|anxn+an?1xn?1+?+a1x+a0|

最小値を与える xc が |x|?R 内にあるとしてよい。（注1）

注1：厳密には上記の議論で最小値を取るとしたら |x|?R なる x であることが分かりました。
そして実際に最小値が存在することは最大値の原理「有界閉区間（orコンパクト集合）上の連続関数は最大値，最小値を持つ」から分かります。
(引用終り)

ここ、xは複素変数として（個人的にはzを使う方が良いと思うが）
f(x)に「最大値最小値定理」（下記）を適用して良いという証明がない

つまりは、f(x)が考えている有界閉区間で連続であるということを、証明しておく必要があるが、そこをスルーしているってこと
まあ、高校の範囲だから、仕方ない面あるけどね

でも、それ（最大値最小値定理適用可）を認めれば、分かり易く良い証明だと思ったな（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%A4%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%A4%E5%AE%9A%E7%90%86
最大値最小値定理
(抜粋)
最大値・最小値の定理または最大値の定理（さいだいちのていり、英: extreme value theorem; 極値定理）は、実数値函数 f が有界閉区間 [a,b] 上で連続ならば f は最大値および最小値にそれぞれ少なくとも一点で到達することを述べるものである。

歴史
最大値最小値定理は、もともとベルナルド・ボルツァーノが1830年代に「函数論」の研究の中で証明を得ていたものだが、これらの内容は1930年まで公表されていなかった。ボルツァーノの証明は「連続函数が閉区間上有界であること」と「函数が最大値および最小値に到達すること」を示すことからなる。両証明は今日ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理として知られるものと関係する(Rusnock & Kerr-Lawson 2005)。後の1860年に、ヴァイエルシュトラスによって最大値最小値定理は再発見され[要出典]、（連続函数に関する）ヴァイエルシュトラスの定理、ヴァイエルシュトラスの最大値定理などとしても知られる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/187

195: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 21:06:06 ID:a/w52AlF

>>194
ありがとう
そのPDFは面白いな

だが
１．そもそも、ニュートンが考えたのは、実数解についてだし
２．実数に限らないってのは、”ニュートン法を拡張して、複素数解が求まるように、多次元化もありと思うけど”（>>186）と書いてあるぜ
　（流行の“Deep Learning”（下記ご参照）でも使われる）
３．で、いずれにせよ、”代数方程式の数値解析の基礎は、代数学の基本定理ですが”(>>185)が外れってことだよね

（参考）
https://leapmind.io/blog/2017/07/11/hessian%E3%82%92%E4%BD%BF%E3%81%A3%E3%81%9F%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96%E6%89%8B%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/
LeapMind BLOG
Hessianを使った最適化手法について 幡谷 2017年07月11日
(抜粋)
LeapMindでは月に数回Goodfellow et al.の“Deep Learning”本の勉強会をしています。今回の勉強会では最適化を扱ったので、Hessianを使う最適化手法について書くことにしました。

ニュートン法
ニュートン法は$H_k$に$(\nabla^2 f(x))^{-1}$、つまりHessianの逆行列を用いた手法です。これはニュートンの近似法によって$f(x)$の極値を求めていると見ることができます。ニュートンの近似法は函数$g(t)=0$の根を

$$t_{k+1}=t_{k}-(\nabla g(t_{k}))^{-1}g(t_{k})$$

によって求めますが、ニュートン法では極値が$0$となる点を求めたいので、$g(t)=\nabla f(t)$、$\nabla g(t)=\nabla^2 f(t)$としているわけです。

この手法は非常に高速に収束（二次収束）しますが、上で見たように極値が$0$となる点を求めているだけですので、容易に鞍点に収束します。

ニュートン法の場合。高速に解に到る場合もありますが、鞍点に収束しているものもあります。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/195

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