純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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173: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/26(月) 10:53:49 ID:QIBqk23Y

>>168
>>ガウスのことだから、５次方程式もちょっと手を付けて、
>>「５次方程式はベキ根では解けない」という感触を持っていた
>>と言われる
>wikipediaだと「要出展」って書かれる文章だなぁ

うん、下記だね
”歴史
カール・フリードリヒ・ガウスは、五次方程式の代数的な解法が不可能問題であることに確信を持っていた。数学的な根拠は出さなかったものの、学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している”
だな。現代では、”予想”ですね、”ガウス予想：五次方程式の代数的な解法が不可能問題である”だ

だが周知のごとく、数学では 予想とその証明とは、天地の違いがあるよね
予想の証明は、やっぱ大事だよね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アーベル-ルフィニの定理
(抜粋)
アーベル?ルフィニの定理（アーベル?ルフィニのていり、英: Abel?Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。
歴史
カール・フリードリヒ・ガウスは、五次方程式の代数的な解法が不可能問題であることに確信を持っていた。数学的な根拠は出さなかったものの、学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。また、『整数論』において円分方程式 {\displaystyle x^{n}=1}{\displaystyle x^{n}=1} は次数の低い円分方程式から逐次的に解ける事を示し、代数的に可解である事を証明した。これは、一般的には代数方程式を代数的に解く事は不可能である一方で、代数的に可解な代数方程式にはどのようなものがあるかを個別に調べるという方向の研究である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/173

180: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/27(火) 00:20:07 ID:RmK3YVZ6

>>173
＞カール・フリードリヒ・ガウスは、五次方程式の代数的な解法が不可能問題であることに確信を持っていた。数学的な根拠は出さなかったものの、学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。

英語版だと下記だな

なお、手元の 高瀬正仁訳 ＤＡ本だと、section 359は、Ｐ456
「根Ωを見つけるのに用いられる方程式の、純粋方程式への還元」と題するsectionだ
＜概要＞
・４次を超える一般的な方程式を、ベキ根で解く方法は見つかっていないし、多くの数学者が失敗した
・これは不可能であることを示唆している
・おれ（ガウス）の博士論文（例の有名なやつ）の第９条の註記にも書いたので参照してほしい

みたいなことが書いてあるな
なるほど

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem
Abel?Ruffini theorem
(抜粋)
History

The first person who conjectured that the problem of solving quintics by radicals might be impossible to solve was Carl Friedrich Gauss, who wrote in 1798 in section 359 of his book Disquisitiones Arithmeticae (which would be published only in 1801) that "there is little doubt that this problem does not so much defy modern methods of analysis as that it proposes the impossible". The next year, in his thesis, he wrote "After the labors of many geometers left little hope of ever arriving at the resolution of the general equation algebraically, it appears more and more likely that this resolution is impossible and contradictory." And he added "Perhaps it will not be so difficult to prove, with all rigor, the impossibility for the fifth degree. I shall set forth my investigations of this at greater length in another place." Actually, Gauss published nothing else on this subject.[1]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/180

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