[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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373(1): 2020/11/22(日)00:14 ID:xl9Agv/6(1/10) AAS
>>347
問1はつぎの解法が"初等的"ではある
相互法則やガウス和の利用を回避できるところがポイント
x^2+x+1 の素因数pを任意に取る. p＞3 であるとしよう.
このとき xとpは互いに素である.(さもなくば p|1 となり矛盾)
このとき, p≡1 (mod 6)であることを示したい.
まず x^2+x+1≡0 (mod p) ...(1) が成立している
省15
374(1): 2020/11/22(日)00:34 ID:xl9Agv/6(2/10) AAS
逆バージョン, 具体的には次はもっと簡単に示せる:
pをp≡1(mod 6)なる素数とするとき
x^2+x+1がpで割り切れるような正の整数xが存在する
(証明)
gをmod p の原始根のうちの1つとする
x = g^((p-1)/3) とおくと x^3=g^(p-1)≡1 (mod p)
よって (x-1)(x^2+x+1)≡0 (mod p) が成立するから
省7
378(2): 2020/11/22(日)01:23 ID:xl9Agv/6(3/10) AAS
類題をあげておきましょう もちろん完全に初等的な方法で解けます:
(1) nを正の整数とし, n^3-3n+1の素因数をpとする.
このとき, p=3 か p≡±1 (mod 9) であることを証明せよ
(2) (1)を用いて 9k-1型の素数が無限個存在することを示せ
379: 2020/11/22(日)01:25 ID:xl9Agv/6(4/10) AAS
(1)を古典的な代数的整数論でやるなら,
p＞3とし,ζを1の原始9乗根として
L=Q(ζ), K=Q(ζ+1/ζ), Lの整数環をO_A, Kの整数環をO_B とおく.
ζ + 1/ζ の最小多項式は x^3-3x+1 であることに注意する
(ここは計算によりすぐに判明するが 逆にこれに気づかない場合は
以下のような解法を取ることはありえない
なので本当の意味で最初にやるべきことは
省17
380: 2020/11/22(日)01:31 ID:xl9Agv/6(5/10) AAS
訂正
O_A, O_B とかいう記法はタイプミスなので訂正
O_A, O_B はそれぞれ O_L, O_K としといてください
最後から4行目は包含関係が逆になっていて
正しくは Kに対応するGal(L/Q)の部分群は qの分解群 を"含む" です
(なので 含まれるとなる場合は逆対応で Kが qの分解体に"含まれる" )
以上
省2
381: 2020/11/22(日)02:04 ID:xl9Agv/6(6/10) AAS
>>377
そうですね
たとえば 数体Q(2^(1/3))において
(p)がどのような分解するか,となると これはもう
アーベル拡大の理論で説明がつかない(たとえば KWに相当するのがない)
しかし実は保型形式が対応している(ラングランズ対応)
というようなことをシコシコと頑張っていた(ている)のが今の主流の1つですね
405(3): 2020/11/22(日)18:05 ID:xl9Agv/6(7/10) AAS
>>384
そうですね 有限体の論を用いるならそのようになりますね
x^2+x+1 の問題と同様の方法でやろうとすると
ζ + 1/ζ ∈ F_p とは限らないので(ζはF_pの代数閉包の中の1の原始9乗根)
最低でもF_pの2次拡大を考えることになります
しかしながら まったく別の発想の解法があります
もちろん 完全に初歩的な方法です
省17
406(2): 2020/11/22(日)18:07 ID:xl9Agv/6(8/10) AAS
>>405
Step 1
任意の互いに素な整数a,bの組に対して
f(a,b)≡±1(mod 9) あるいは
f(a,b)≡±3(mod 27) が成立する
(これは力技で示してもいいが多少の工夫をする)
以下はそれの証明である :
省18
407(1): 2020/11/22(日)18:10 ID:xl9Agv/6(9/10) AAS
>>405
>>406
Step 2
f(a,b)≡0 (mod p)を満たす互いに素な整数a,bの組が存在するような
p∈D が存在していたと仮定し, (これは背理法のための仮定である)
そのようなpでとくに最小なものを改めてpとおき
f(a,b)≡0 (mod p) が成立しているとする
省27
408(1): 2020/11/22(日)19:54 ID:xl9Agv/6(10/10) AAS
一方で f(n)=n^3-3n+1 についての逆問題は厳しいきがします
つまり pをp≡±1 (mod 9)なる素数とするとき
f(n)≡0(mod p) を満たす整数nが必ず存在することの証明
p≡1 (mod 9) のときの存在を示すのは問題ない :
gをmod pの原始根とし a=g^((p-1)/9), aのmod pの逆元をbとする
このとき n = a+b とすれば f(n)≡0 (mod p)が確認できる
実際 b^3*f(a+b) ≡ a^6+a^3+1 ≡ 0 (mod p) となる
省10
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