純粋・応用数学(含むガロア理論)5

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195: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 21:06:06 ID:a/w52AlF

>>194
ありがとう
そのPDFは面白いな

だが
１．そもそも、ニュートンが考えたのは、実数解についてだし
２．実数に限らないってのは、”ニュートン法を拡張して、複素数解が求まるように、多次元化もありと思うけど”（>>186）と書いてあるぜ
　（流行の“Deep Learning”（下記ご参照）でも使われる）
３．で、いずれにせよ、”代数方程式の数値解析の基礎は、代数学の基本定理ですが”(>>185)が外れってことだよね

（参考）
https://leapmind.io/blog/2017/07/11/hessian%E3%82%92%E4%BD%BF%E3%81%A3%E3%81%9F%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96%E6%89%8B%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/
LeapMind BLOG
Hessianを使った最適化手法について 幡谷 2017年07月11日
(抜粋)
LeapMindでは月に数回Goodfellow et al.の“Deep Learning”本の勉強会をしています。今回の勉強会では最適化を扱ったので、Hessianを使う最適化手法について書くことにしました。

ニュートン法
ニュートン法は$H_k$に$(\nabla^2 f(x))^{-1}$、つまりHessianの逆行列を用いた手法です。これはニュートンの近似法によって$f(x)$の極値を求めていると見ることができます。ニュートンの近似法は函数$g(t)=0$の根を

$$t_{k+1}=t_{k}-(\nabla g(t_{k}))^{-1}g(t_{k})$$

によって求めますが、ニュートン法では極値が$0$となる点を求めたいので、$g(t)=\nabla f(t)$、$\nabla g(t)=\nabla^2 f(t)$としているわけです。

この手法は非常に高速に収束（二次収束）しますが、上で見たように極値が$0$となる点を求めているだけですので、容易に鞍点に収束します。

ニュートン法の場合。高速に解に到る場合もありますが、鞍点に収束しているものもあります。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/195

202: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/28(水) 23:45:41 ID:a/w52AlF

>>198
そうか、ニュートン法と複素力学系は、結構有名な話だったか
そういえば、おっちゃんが、”ジュリア集合”とか好きだったな（＾＾；

http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~isida/
石田　久 京都産業大学 数理科学科
http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~isida/dynamics.html
複素力学系の世界
・ニュートン法・サーストンモデル
　以下は複素ニュートン法の理論で現れる図です． 1番目の図は３つの小さい丸の中心に z^3-1=0 の解があり、初期値によってどの解に収束するか色分けしたものです．
http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~isida/Figs/z3.jpg
残りの3つはサーストンモデルとその拡大図です．

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/danwa/2000/abstract/Shishikura/index.html
ニュートン法と複素力学系 宍倉光広 広島大学
ニュートン法は古くから知られている．
根がどこにあるかを知らずに適当に初期値を定めて ニュートン法を行うとき，いつでも根を見つけることができるのだろうか？また，ど れくらいの確率，あるいは効率で見つけることができるのだろうか？これらの問題を 複素力学系の立場から考察する．

http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/
川平 友規  東工大
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses.html
Courses
講義･演習･著作
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/mathematica.html
『レクチャーズ オン Mathematica』 ―バージョン 8 / 9 / 10 / 11 対応！
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/mathematica/14ex.pdf
● Chapter 14（補講１）．力学系 （pdf: ver.20160418）
Chapter 14
力学系（補講１）
P14
参考：ニュートン法再訪. 方程式 f(z) = z
3 ? 1 = 0 について，複素数解もふくめて
考えよう．じつはニュートン法は複素数でもそのまま応用できて，初期値 z0 が方程
式の解に十分近いとき，そのニュートン写像 Nf (z) による軌道は解に近づくことが知られている．
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf
マンデルブロー集合 架空の講義ノート．随時更新．
??2次関数の複素力学系入門?? 川平　友規
名古屋大学大学院多元数理科学研究科 H24 年
P169
ニュートン法
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/202

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