[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学(含むガロア理論)5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

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669: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:07:09 ID:V/gu0+4H >>662-663 ああ、カタツムリおじさん（＝おサル＝維新さん）とは、別人かな これは、失礼しました（>>652 ｍ（＿＿）ｍ） >貴方が本当に納得したのは、副有限群の場合も含めて示した >誰だったかの定理を検索で見つけてきたときでしたね笑 そうだったかな？　いまも、検索で下記を見つけましたよ（＾＾； ”あの問題だって、大学時代、頭の中で考えて 「これは自明だな」と一瞬で分かった覚えがある。”（>>625） は、すごいと思う反面、正確には、”自明”ではないよね。だって、沢山論文が出ていますよ（下記）（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/669

670: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:08:55 ID:V/gu0+4H >>669 つづき （参考：ガロアの逆問題） http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/ueyama/wakate/2003/2003_ohtani.pdf 可算無限生成自由副有限群のある閉正規部分群 大溪幸子* (北大 理) 所属は講演当時 * e-mail address: sohtani@math 本稿は平成15年3 月1 日から3 日に岡山大学で行われた第 8 回代数若手研究会での講演 内容に基づくものである．研究会の主旨に沿えるよう，講演中には時間の都合上省略した基 本的な定義や注意についても述べる．まず第一節では副有限群の定義と問題の動機付けとも なったガロアの逆問題についてふれる．第ニ節では主結果を説明するために必要な副 C-群と 埋め込み問題について説明する．最後に第三節で証明の概要を述べる． G = lim←?Gi を副有限群とする. 各 Gi に離散位相を入れると G は位相群になり， 標準射影πi: G ?→ Gi は連続準同型となる．特に G はコンパクト，ハウスドルフ，完全不連結であり， 1 の基本近傍系は G の有限指数正規部分群で与えられる． 例 1.2. 副有限群の代表的な例として p 進有理整数環 Zp = lim←?Z/piZがある. ここで p は素数とする．このとき Zp 上 n 次元一般線形群 GLn(Zp) も GLn(Zp) = lim←?GLn(Z/piZ)のように自然に副有限群になる. SLn(Zp) なども同様． 例 1.3 (cf. [RZ], p. 71, Theorem 2.11.1). K を体 k 上の無限次ガロア拡大とすると， K は K に含まれる k 上の有限次ガロア拡大 Ki たちの合成体として表される: K =[K/Ki/kKi. このとき K の k 上のガロア群 Gal (K/k) は Gal (K/k) = lim←?Gal (Ki/k). と表せる． このように全ての (無限位数の)ガロア群は副有限群であるが，逆に，全ての副有限群は適 当な体のガロア拡大のガロア群として実現される．定理として以下に引用する: 定理 1.4 (Waterhouse [W]). G を副有限群とすると，ある体のガロア拡大 K/k が存在して，G は Gal (K/k) と同型.1 （注 [W] Waterhouse, W.C., Profinite groups are Galois groups, Proc. AMS 42 (1973), 639-640.） さて，ガロア群といえば次のガロアの逆問題が有名である: 問題 1.5 (k 上のガロアの逆問題). 基礎体 k を与える．H を任意の有限群としたとき，H をガロア群として持つような k 上の有限次ガロア拡大 K は存在するか ? つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/670

671: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:09:57 ID:V/gu0+4H >>670 つづき 群を指定して考える定式化もあるが，ここでは「全ての有限群が k 上のガロア群として実 現できるか ?」という場合のみを考える．Q 上のガロアの逆問題の最初の系統的なアプロー チは 1892 年の Hilbert [H] にさかのぼる．有名な既約性定理はこのために証明された． 例 1.6. 例えば C(t), R(t)，Q￣ (t), Qp(t), F￣ p(t) などの関数体上のガロアの逆問題は肯定的に 解かれている．代数体の場合は一般に難しいが，1992 年 Fried-V¨olklein [FV] により, 標数 0 可算 Hilbertian2 PAC -体3 上のガロアの逆問題が肯定的に解けることが証明された． 注） 2 体 K 上の r 変数有理関数体 K(t), t = (t1, ・ ・ ・ , tr), 上の既約分離多項式を fi(t, X), i = 1, ・ ・ ・ , m とする． 体 K が Hilbertian とは，a ∈ Kr が存在して，fi(t, X) は K 上定義され既約であることをいう． 3 体 K が PAC (pseudo algebraic closed) であるとは，K 上の絶対既約な代数多様体 V ≠ Φ に対して, V (K) ≠ Φ であることをいう. これと同値な条件: K 上の絶対既約な代数多様体 V に対して, V (K) は V 内で Zariski 稠密であること. 具体例には Q 上最大総実代数体に √?1 を添加した体がある．また 1996 年 Pop [P] により正標数の場合が証明された．4 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/671

672: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:10:21 ID:V/gu0+4H >>671 つづき Q の最大アーベル拡大 Qabの場合には Shafarevich により以下のように予想されている: 予想 1.7 (Shafarevich). Qab の絶対ガロア群は可算無限生成の自由副有限群である． Pop [P] により，この予想は Qab が large5 なら成り立つ．Qab は Hilbertian ではあるが， PAC ではない．また一部を除いたほとんどの有限単純群が Qab 上のガロア群として実現されることなども分っている． F￣p(t) の場合は Qab の関数体類似となっている．6 注）6 Q と Fp(t) の類似はよく知られており，Qab と F￣p(t) はどちらもそれらの最大円分拡大である． では Qab の代わりに，Q 上の最大可解拡大 Qsol の絶対ガロア群の構造はどのようになっ ているのであろうか．これは副有限群ではあるが，Qab のそれと違って可解商を持たないな ど変った構造をしており，自由性を定義することはできない．しかし，Shafarevich 予想を仮 定すると，自由ではないが自由に近いものであることが証明できる．正確には次を得る: 定理 1.8. k を体で, その絶対ガロア群が可算無限階数の自由副有限群であるようなものとす る. N を可解商を持たない有限群全てからなる類とすれば, k の最大可解拡大 ksol の絶対ガ ロア群は ω-N -自由副 N -群である. 詳しくは以下の節以降で説明していく． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/672

674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:20:36 ID:V/gu0+4H >>663 (引用開始) 自分の意見と合致しない岡潔の言葉があったときは 「弟子も碌に育てられなかったくせに」とかディスって ましたね笑 (引用終り) それは誤解でしょうね １．人間だれしも、間違いはある。正しい発言もあれば、間違ったこともあるよね ２．岡先生を、神格化するのは、必ずしも正しくない ３．正しい発言もあれば、間違った発言もある ４．弟子の教育面では失敗していると思っています（もっとも、あくまで、下記などが根拠ですが） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A1%E6%BD%94 岡潔 (抜粋) 教育者の側面 根本は情であるべきとも語った。また日本民族は知が不得手であるため、西洋的なインスピレーションより東洋的な情操・情緒を大切にすることで分別智と無差別智の働きにより知を身につけるべきと提唱している。 人格 岡は仏教をある時期まで信仰しており、特に山崎弁栄に帰依していた。岡自身によれば、岡は「純粋な日本人」であり、日本人として持っている「情緒」に基づいて、その数学的世界を創造した。岡はこのような自身の体験に基づいた随筆をいくつか書いていて、一般にはむしろそちらの方でよく知られている。 岡の考えでは論理や計算は数学の本体ではなく、表面的なことを追うだけでは答えが見えてこないと思っていた。この見えざる数学の本体に迫ることと、仏教的叡智や情緒の探求は岡にとって表裏一体であったと考えられる。 マイナスの日は、寝床から起き上がりもせず一日中眠っており、無理に起こそうとすると「非国民」などと怒鳴る有様であった。この岡の行動を見た藤本は「恐らく岡は躁鬱病であると考えられるが、プラスの日・マイナスの日は一日おき、もしくは数日おき…といった具合で、躁と鬱の交代期間は比較的短かった」と述べている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/674

678: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 10:47:08 ID:V/gu0+4H >>673 (引用開始) 「数学科学部レベルで言い負かされると 　あっさり降伏するのに 　理工学部教養課程レベルで言い負かされると 　ムキになっていつまでも馬鹿言い続ける」 (引用終り) それは多分誤解ですね １．５ｃｈは、玉石混淆で、名無しさんが主（ホントに数学専門家かなど疑問でしょう） 　発言をそのまま信じることはできません ２．疑問点は、検索などで調べます ３．数学科学部レベル以上なら、調べた結果、正しいことが多い ４．それ以外では、怪しいことが多い そうことでしょうね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/678

680: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 14:36:27 ID:V/gu0+4H ふーん、ID:DTMWYA77、ID:rPHUYBPL、ID:IssG98Nd この３つは、同一人物？（＾＾ http://hissi.org/read.php/math/20201206/RFRNV1lBNzc.html 必死チェッカーもどき 数学 > 2020年12月06日 > ID:DTMWYA77 1 位/41 ID中 Total 18 使用した名前一覧 １３２人目の素数さん 書き込んだスレッド一覧 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 Inter universal geometry と ABC予想(応援スレ)50 【たかし君】算数みたいな問題文なのに実は超難しい問題を出し合うスレ【釣り】 大学数学の先取りは意味があるか？ 　　　0.99999…は１ではない　その16　　　 http://hissi.org/read.php/math/20201205/clBIVVlCUEw.html 数学 > 2020年12月05日 > ID:rPHUYBPL 7 位/101 ID中 Total 10 使用した名前一覧 １３２人目の素数さん 書き込んだスレッド一覧 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 Inter universal geometry と ABC予想(応援スレ)50 http://hissi.org/read.php/math/20201205/SXNzRzk4TmQ.html 数学 > 2020年12月05日 > ID:IssG98Nd 1 位/101 ID中 Total 54 使用した名前一覧 １３２人目の素数さん 書き込んだスレッド一覧 現代数学って結局役に立たないじゃん Inter universal geometry と ABC予想(応援スレ)50 　　　0.99999…は１ではない　その16　　　 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 楕円関数・テータ関数・モジュラー関数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/680

686: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 21:59:28 ID:V/gu0+4H >>669 >”あの問題だって、大学時代、頭の中で考えて >「これは自明だな」と一瞬で分かった覚えがある。”（>>625） >は、すごいと思う反面、正確には、”自明”ではないよね。だって、沢山論文が出ていますよ（下記）（＾＾ いや、まあ"あの問題"ってのが、>>652より ”わたしが「任意の有限群をガロア群として持つガロア拡大が 存在することを示せ」という問題を出した” ってやつでしょ？ 私にはとても自明には思えなかったし、浮かんだのは”ガロア逆問題”だった で、当時も”ガロア逆問題”で調べたと思う で、今回ちょっと検索法を変えると、>>670 大溪幸子* (北大 理) 氏が検索ヒットしたわけ これを見ると、”問題 1.5 (k 上のガロアの逆問題). 基礎体 k を与える．H を任意の有限群としたとき，H をガロア群として持つような k 上の有限次ガロア拡大 K は存在するか ?” ”群を指定して考える定式化もあるが，ここでは「全ての有限群が k 上のガロア群として実 現できるか ?」という場合のみを考える．Q 上のガロアの逆問題の最初の系統的なアプロー チは 1892 年の Hilbert [H] にさかのぼる．” などと書かれている つまり、”「これは自明だな」と一瞬で分かった”っていうのは、才能だと思うけど そこで止まってしまったのが、>>670 大溪幸子* (北大 理) 氏などと照らし合わせると 残念だったかも知れないですね つまり、そこをもっと突っ込んだら、論文一つ書けたかもと思った次第です（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/686

687: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/12/06(日) 22:52:42 ID:V/gu0+4H ”はやぶさ２”の成功の裏に、数学の力があることは確かだが では、いまどきの数学者が”はやぶさ２”の軌道計算ができるかというと、そうではないよね 現代社会と数学の関係に似ている気がする https://special.sankei.com/a/life/article/20201206/0001.html 産経 宇宙の試料回収で日本独走　中国猛追、試される技術力 2020.12.6 はやぶさ２のカプセルが帰還したことで、日本は小惑星の試料を地球に持ち帰る技術を世界に先駆けて確立し、実用段階に引き上げることに成功した。 初代はやぶさは心臓部のエンジンや通信装置などの故障が相次ぎ、満身創痍（そうい）で奇跡的に帰還した。初の小惑星探査で実験的な意味合いが強かった面もあるが、着地の際も装置が正常に働かず、ごくわずかな微粒子しか採取できなかった。 　この教訓を生かしたはやぶさ２は、多くの対策を実施。小惑星リュウグウから無事故で帰還を果たし、さらに１００億キロ離れた別の小惑星に向けて出発できたほど機体は健全だ。試料の採取は初代より多く、目標の０・１グラムを超える量が確実視されている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/687

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