純粋・応用数学(含むガロア理論)5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

19: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/10(土) 07:59:24 ID:9Sqq12HI

>>16-18
おっさんらスレチだよ
下記の”哀れな素人スレ 0.999…は1ではない”で遊んでいろよ

哀れな素人スレ 0.999…は1ではない その13
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601298312/

なお、参考に
無限小wikipediaと
滑らかな無限小解析wikipedia
を貼っておくよ
読んでたもれ（＾＾
なお、下記”滑らかな無限小解析”、「バナッハ＝タルスキのパラドックスは成立しない。なぜなら、大きさのある物体は点へと分解できないからである」は、面白いな（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小

ライプニッツによる無限小の利用は、連続の法則（英語版）「有限な数に対して成り立つものは無限な数に対しても成り立ち、逆もまた然り」[* 1]や同質性の超限法則（英語版）（割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針）というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは自身の著書 Cours d'Analyse（『解析教程』）で、無限小を「連続量」(continuity) ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。カントールとデデキントがステヴィンの連続体をより抽象的な対象として定義したのと同様に、パウル・デュ・ボア＝レーモン（英語版）は函数の増大率に基づく「無限小で豊饒化された連続体」(infinitesimal-enriched continuum) に関する一連の論文を著した。デュ・ボア＝レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にエドウィン・ヒューイット（英語版）が、および1955年にイェジー・ウォッシュ（英語版）が成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/19

20: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/10(土) 08:00:26 ID:9Sqq12HI

>>19
つづき

ロビンソンの超実数 (hyper-reals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、移行原理（英語版）がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、標準部（英語版）はフェルマーの擬等式の方法（英語版） (ad-equality, pseudo-equality) の定式化である。

ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:

Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である）

目次
1 一階の性質
2 無限小を含む数体系
2.1 形式級数体
2.1.1 ローラン級数体
2.1.2 レヴィ-チヴィタ体
2.1.3 超越級数体
2.2 超現実数体
2.3 超実数体
2.4 準超実数体
2.5 二重数環
2.6 滑らかな無限小解析

滑らかな無限小解析
詳細は「滑らかな無限小解析」を参照
綜合微分幾何学（英語版）あるいは滑らかな無限小解析は圏論に起源を持つ。このやり方では、従来の数学において古典論理が用いられることから外れて、排中律 (l.e.m) の一般適用を排除する（つまり、"￢(a ≠ b)" が "a = b" を意味しない）。それにより、複零 (nilsquare) あるいは冪零無限小が定義可能になる（つまり、x2 = 0 および x ≠ 0 が同時に成立する数 x が存在しないことはない）。背景となる論理が直観主義論理であるため、このような数体系に前掲の分類 1, 2, 3 をどう当てはめることができるかは直ちには明らかでない（まずはこの分類の直観主義論理版を知らねばならない）。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/20

21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/10(土) 08:01:37 ID:9Sqq12HI

>>20
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E8%A7%A3%E6%9E%90
滑らかな無限小解析

滑らかな無限小解析（英: Smooth infinitesimal analysis、SIA）は無限小の言葉を用いた微分積分学の現代的な再定式化（のひとつ）である。ウィリアム・ローヴェアのアイデアに基づき、また圏論の手法を用いることで、SIAは全ての関数は連続であって、離散的実体を用いて表現することができないものと見做す。SIAは理論としては総合微分幾何（英語版）の一部である。

複零（nilsquare）あるいは冪零（nilpotent）無限小とは、ε2 = 0 なる数 ε のことである（ε = 0 は真である必要がない）。

概要
このアプローチは排中律を拒否することによって従来の数学に用いられている古典論理から離れる。例えば NOT (a ≠ b) は a = b を含意しない。とくに、滑らかな無限小解析の理論においては、全ての無限小 ε に対し、NOT (ε ≠ 0) を証明することができるが、それにもかかわらず、全ての無限小がゼロに等しいということは偽であると証明される。[1]次の基本定理によって、排中律は成り立ちえないことが分かる（再び滑らかな無限小解析の文脈の中で理解するものとする）：

定理
実数全体 ? を定義域とする任意の関数は連続かつ無限回微分可能である。
この事実にもかかわらず、不連続関数 f(x) を f(x) = 1 (x = 0 のとき) かつ f(x) = 0 (x ≠ 0 のとき) とすることによって定義しようと試みることができる。もし排中律が成立するならば、この関数は全域で定義された不連続関数となる。しかしながら、x = 0 も x ≠ 0 も成立しないような、非常にたくさんの x （つまり無限小）が存在する。それゆえ、この関数は全ての実数に対しては定義されない。（訳注：より正確には「全ての実数に対して定義される」の否定が証明できる。だからといって「ある x が存在して f(x) が定義されない」ことは証明できない。もしそれが証明できたとしよう。すると、その x について、NOT (x = 0 OR x ≠0) が証明できる。ところが、グリベンコの定理により、直観主義論理では排中律の二重否定 NOT NOT (x = 0 OR x ≠ 0) は証明できる。こうして矛盾に至る。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/21

27: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/10(土) 15:07:01 ID:9Sqq12HI

>>26
総合微分幾何か、初耳だが
”総合微分幾何（英語版）”（>>21）のリンクを辿ると下記だな

Synthetic differential geometryを”総合微分幾何（英語版）”と訳したみたいだが
誤訳っぽいかもね（＾＾；

”Synthetic”には、「《化学》合成の；（宝石が）模造の」、「3本物でない，作りごとの」、「[名]C合成品；模造品」
という意味があるのでこちらだろうね

”a formalization of the theory of differential geometry in the language of topos theory.”で
topos theory から、合成した ” topos theory.”という意味だと思う
興味あるなら、英文サイトにＰＤＦへのリンクがあるので、見て下さい

参考
https://dictionary.goo.ne.jp/word/en/synthetic/
goo
synthetic とは 小学館 プログレッシブ英和中辞典
[形]
1統合的な，総合の，組み合わせの（⇔analytic）
2《化学》合成の；（宝石が）模造の；《言語学》総合的な（⇒synthesis 2）；《哲学》総合（哲学）の
synthetic resin
合成樹脂
synthetic detergent
合成洗剤
3本物でない，作りごとの
a synthetic smile
取ってつけたような笑い
━━[名]C合成品；模造品

https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_differential_geometry
Synthetic differential geometry

In mathematics, synthetic differential geometry is a formalization of the theory of differential geometry in the language of topos theory. There are several insights that allow for such a reformulation. The first is that most of the analytic data for describing the class of smooth manifolds can be encoded into certain fibre bundles on manifolds: namely bundles of jets (see also jet bundle). The second insight is that the operation of assigning a bundle of jets to a smooth manifold is functorial in nature. The third insight is that over a certain category, these are representable functors. Furthermore, their representatives are related to the algebras of dual numbers, so that smooth infinitesimal analysis may be used.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/27

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.029s