[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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19(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)07:59 ID:9Sqq12HI(1/12) AAS
>>16-18
おっさんらスレチだよ
下記の”哀れな素人スレ 0.999…は1ではない”で遊んでいろよ
哀れな素人スレ 0.999…は1ではない その13
2chｽﾚ:math
なお、参考に
無限小wikipediaと
省9
20(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:00 ID:9Sqq12HI(2/12) AAS
>>19
つづき
ロビンソンの超実数 (hyper-reals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、移行原理（英語版）がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、標準部（英語版）はフェルマーの擬等式の方法（英語版） (ad-equality, pseudo-equality) の定式化である。
ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている:
Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.[4]（訳: 今日では、解析学の授業において無限小量について述べることはあまり一般的ではない。その結果、当世の学生はこの言葉づかいに全く習熟していない。にも拘らず、未だにそれを扱うことが必要である）
目次
1 一階の性質
省14
21(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:01 ID:9Sqq12HI(3/12) AAS
>>20
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
滑らかな無限小解析
滑らかな無限小解析（英: Smooth infinitesimal analysis、SIA）は無限小の言葉を用いた微分積分学の現代的な再定式化（のひとつ）である。ウィリアム・ローヴェアのアイデアに基づき、また圏論の手法を用いることで、SIAは全ての関数は連続であって、離散的実体を用いて表現することができないものと見做す。SIAは理論としては総合微分幾何（英語版）の一部である。
複零（nilsquare）あるいは冪零（nilpotent）無限小とは、ε2 = 0 なる数 ε のことである（ε = 0 は真である必要がない）。
概要
省5
22: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:02 ID:9Sqq12HI(4/12) AAS
>>21
つづき
標準的な数学が無矛盾である限り、SIAは無矛盾であるので、このようなことは起こりえない。すなわち、f が未定義となるような具体的な x の存在は証明できない。）
滑らかな無限小解析の典型的なモデルにおいては、無限小は可逆（invertible）ではなく（すなわち乗法逆元が取れない）、したがってこの理論は無限大数を含まない。しかし、可逆な無限小を含むようなモデルも存在する。
超準解析や超現実数といった、無限小を含むような他の数学的体系もある。滑らかな無限小解析は次の点で超準解析に似ている (1) 解析学の基礎となることを意図している (2) 無限小量は具体的な大きさを持たない（フォン・ノイマン順序数 ω の逆数 1/ω を典型的な無限小とする超現実数とは対照的に）。しかし、滑らかな無限小解析は、非古典論理を使用する点および移行原理（英語版）を欠いている点で、超準解析とは異なっている。中間値の定理やバナッハ＝タルスキのパラドックスを含む、標準解析と超準解析の幾つかの定理は、滑らかな無限小解析に於いては偽である。超準解析の文は極限に関する文へと翻訳可能であるが、同じことは滑らかな無限小解析に於いては必ずしも成り立たない。
直観的には、滑らかな無限小解析は、点ではなく、無限に小さな切片から構成された直線の世界を記述するものと解釈することができる。それらの切片は方向を持つに十分な長さであるが、曲がるには不十分な長さであると思うことができる。不連続関数の構成は失敗する。というのは、関数は曲線と同一視されるが、曲線を点毎に構成することはできないからである。中間値の定理の不成立は、無限小切片の持つ、線を跨ぐ能力に起因するものと想像することができる。（訳注：関数が無限小切片の中で中間値を通過した（跨いだ）とすると、その切片の中のどの点が中間値を与えるのかを特定できない。
省1
23: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)08:04 ID:9Sqq12HI(5/12) AAS
つづき
もちろん、[0, 1] 上定義された f(x) = x という具体的な関数が中間値 0≦m≦1 を持つことは、x = m と具体的に与えることで証明できる。中間値の定理が、全ての関数に対して中間値を取る点の存在を主張していること、これが問題である。これを証明するには、所与の関数と中間値から、その値を取る点を具体的に構成する手続きを与える必要があるが、前述の理由によって、そのことは叶わない。）
同様に、バナッハ＝タルスキのパラドックスは成立しない。なぜなら、大きさのある物体は点へと分解できないからである。
(引用終り)
以上
25(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)13:14 ID:9Sqq12HI(6/12) AAS
>>24
おっさんスレチだよ
下記の”哀れな素人スレ 0.999…は1ではない”で遊んでいろよ
哀れな素人スレ 0.999…は1ではない その13
2chｽﾚ:math
ここは学会じゃない
なんで、数学界で認められている議論を
省5
27(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)15:07 ID:9Sqq12HI(7/12) AAS
>>26
総合微分幾何か、初耳だが
”総合微分幾何（英語版）”（>>21）のリンクを辿ると下記だな
Synthetic differential geometryを”総合微分幾何（英語版）”と訳したみたいだが
誤訳っぽいかもね（＾＾；
”Synthetic”には、「《化学》合成の；（宝石が）模造の」、「3本物でない，作りごとの」、「[名]C合成品；模造品」
という意味があるのでこちらだろうね
省22
28: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)15:07 ID:9Sqq12HI(8/12) AAS
>>27
Synthetic differential geometry can serve as a platform for formulating certain otherwise obscure or confusing notions from differential geometry. For example, the meaning of what it means to be natural (or invariant) has a particularly simple expression, even though the formulation in classical differential geometry may be quite difficult.
Further reading
John Lane Bell, Two Approaches to Modelling the Universe: Synthetic Differential Geometry and Frame-Valued Sets (PDF file)
F.W. Lawvere, Outline of synthetic differential geometry (PDF file)
Anders Kock, Synthetic Differential Geometry (PDF file), Cambridge University Press, 2nd Edition, 2006.
R. Lavendhomme, Basic Concepts of Synthetic Differential Geometry, Springer-Verlag, 1996.
省4
29: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)15:08 ID:9Sqq12HI(9/12) AAS
>>27 訂正
topos theory から、合成した ” topos theory.”という意味だと思う
↓
topos theory から、合成した ” differential geometry”という意味だと思う
失礼しました（＾＾；
34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)18:01 ID:9Sqq12HI(10/12) AAS
>>32
>何で嘘をつくの？自分が読み間違ってる可能性を考えないの？
意味わからん
”自分が読み間違ってる可能性”？
いいんじゃない？
だれが、何を、どう読み間違おうと、他人には関係ないことだろ？
そもそも、そんなことを議論するほどヒマじゃないし、議論する必要なし！
36: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)20:31 ID:9Sqq12HI(11/12) AAS
>>35
いらしゃい
答えは、ご想像にお任せします（＾＾
38(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/10(土)22:56 ID:9Sqq12HI(12/12) AAS
５ｃｈ掲示板（含む数学）
○匿名カキコ（どこの馬の骨だか分からないのが普通）
○便所の落書き（みんな気楽に書いている）
○玉石混淆（ガセネタも多い）
それを承知で、５ｃｈ掲示板に来ているんじゃないのか？
省9
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