[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学(含むガロア理論)5 (1002ﾚｽ)
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346(1): 2020/11/21(土)07:56 ID:1im9tYdw(1/5) AAS
n∈Nに対して、n=(a+1)(b+1)となる正整数の組{a,b}が存在する
⇔nは合成数
だよね。これは
nは素数⇔n=(a+1)(b+1)となる正整数の組{a,b}は存在しない
とも言える。
(a+1)(b+1)=ab+a+b+1と展開して
nは素数⇔n-1=ab+a+bとなる正整数の組{a,b}が存在しない
省1
347(3): 2020/11/21(土)08:08 ID:1im9tYdw(2/5) AAS
問1
xが正整数のときx^2+x+1の素因数は必ず3か6n+1型の素数であることを示せ。
問2
問1の事実を使って、ユークリッドの証明に倣って、6n+1型の素数は無限に存在することを示せ。
348(1): 2020/11/21(土)08:39 ID:1im9tYdw(3/5) AAS
>何故,整数論は数学の女王なのでしょうか?
一例を挙げれば、p進数体という、非直観的だが極めて重要な数学的構造を発見したのは、整数論的研究による。
加藤和也
「物理も研究している数学者のマニンは、宇宙が
実数体とp進数体のまざったような世界であると
考えているのである。実際、RとすべてのQ_pを
対等に扱うのは現代の数論で標準的な姿勢に
省4
349: 2020/11/21(土)09:30 ID:1im9tYdw(4/5) AAS
訂正>>346
>これは
>nは素数⇔n=(a+1)(b+1)となる正整数の組{a,b}は存在しない
>とも言える。
これはn≧2のとき
nは素数⇔n=(a+1)(b+1)となる正整数の組{a,b}は存在しない
とも言える。
371(2): 2020/11/21(土)23:57 ID:1im9tYdw(5/5) AAS
>>347の問題は解けましたか？
任意の素数は、2, 3, 6n+1型, 6n+5型のいずれかになりますが
問1はxが整数のときx^2+x+1の素因数は、2, 6n+5型には
なりえないことを主張しています。
問2の解答。
6n+1型素数に上界Xがあるとして矛盾を導く。
ΠをX以下のすべての素数の積とする。
省4
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