現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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140: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/09(日) 08:24:12.79 ID:QmjvhqAQ

>>139 補足

さて、時枝をもう少し具体例に落として、考えてみよう
(>>7 時枝記事（数学セミナー201511月号の記事）ご参照)

(>>37の)フレシェフィルターによる、時枝の可算無限数列のシッポの同値類
（これだけでは何も新しいことは言えないが、考察の手がかりには なる）

１）簡単に２つの可算無限数列x,yで考えよう
　いま、具体例として、無理数の無限小数展開の小数部分を考える
　10進で、各桁は0〜9の数で、この可算無限数列が得られる
　（例えば、π＝3.14159 26535 89793・・で、小数点以下の”14159 26535 89793・・”を考えるってこと）
２）フレシェフィルターは、これだけでは何も言えないが、超準解析（ノンスタとも）と繋がっているところが良いね
　”14159 26535 89793・・”の時枝の同値類を考える
　例えば、先頭の有限部分を変えた ”x1,x2,x3,x4, 9 26535 89793・・”などは、その例だ（x1,x2,x3,x4・・・などは任意の実数で可）
　これらで、数列xとその同値類を考える
３）さて、時枝さんのやっていることは、別の数列yから、ある有限の決定番号dyを得て
　問題の数列xの決定番号dxとの比較で、dx < dy となっていれば、勝ち
　つまり、数列xにおいて、dy+1番目より大きいシッポの数を知って、数列xの代表からdy番目の数列xの数が的中できるという
４）ところが、>>130で書いたように、決定番号はその分布が非正則。つまり、コルモゴロフの確率の公理を満たすことができない
　だから、P(dx < dy)=1/2 (つまり確率1/2) という計算が正当化されない
５）フレシェフィルターに戻ると、x1,x2,x3,x4・・・などは、上記のように別に 10進の 0〜9 に限らない。任意の実数で良いのだ
　とすると、代表のdy番目の数は、「0〜9 に限らない 任意の実数」となっている可能性が大
　そういうことを、確率計算に折り込む必要があるが、それも難しい（不可能でしょ）
６）ここらを批判しているのが、mathoverflowでの二人の数学Dr Alexander Pruss 氏と Tony Huynh氏です！(>>92 ご参照)
以上

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/140

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