純粋・応用数学（含むガロア理論）2

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）2 (1002ﾚｽ)
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689: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 23:24:36.71 ID:UyE0c9o0

>>676 補足
>テレンス・タオｗｗｗ（＾＾

補足すると
１．テレンス・タオが示したように、超実数（無限小を含めたノンスタ（超準））を導入して
　「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を・・ "0.999…" は 1 に「無限に近い」とできることを示した
２．イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
３．Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした
４．一方で、スタンダード（標準）な実数Rにおいては、アルキメデス距離を導入することで、距離空間として完備であり、ハウスドルフになる
　そして実数R内で、任意のコーシー点列が、R に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）
　結局、例えば、標準的には、1/9の無限小数展開を、循環小数として、"0.111…"と定義すれば、これは定義の問題であって、証明の問題ではない
　1/9＝0.111… と定義されるということ。両辺に9を掛ければ、1＝0.999… が得られる
　逆に、1＝0.999…と定義すれば、両辺を9で除して、1/9＝0.111… を得る
　つまりは、上記の2つの定義は、同値。繰返すが、定義の問題であって、証明の問題ではない！
５．上記の１〜３のノンスタ（超準）の立場と、上記４のスタンダード（標準）な立場は、21世紀の現代数学内では、両立しうる

QED （＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
超準解析（nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する
Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった
無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある
超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/689

705: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/10(金) 06:54:20.40 ID:F8J9moxS

>>689 補足

Karin U. Katz先生が、”A strict non-standard inequality .999... < 1”とか、いろいろと（8個の論文）書いておりますです（＾＾
（参考）
https://www.researchgate.net/scientific-contributions/14412636_Karin_U_Katz
(抜粋)
https://www.researchgate.net/publication/322976130_What_makes_a_theory_of_infinitesimals_useful_A_view_by_Klein_and_Fraenkel/download
Karin U. Katz's research while affiliated with Bar Ilan University and other places
(抜粋)
What makes a theory of infinitesimals useful? A view by Klein and Fraenkel Feb 2018

https://www.researchgate.net/publication/321487678_Cauchy_Infinitesimals_and_ghosts_of_departed_quantifiers/download
Cauchy, Infinitesimals and ghosts of departed quantifiers Dec 2017

https://www.researchgate.net/publication/316471194_Cauchy's_Infinitesimals_His_Sum_Theorem_and_Foundational_Paradigms/download
Cauchy’s Infinitesimals, His Sum Theorem, and Foundational Paradigms Apr 2017

https://www.researchgate.net/publication/301819238_Interpreting_the_Infinitesimal_Mathematics_of_Leibniz_and_Euler/citation/download
Interpreting the Infinitesimal Mathematics of Leibniz and Euler May 2016

https://www.researchgate.net/publication/266708249_Cauchy's_Continuum/citation/download
Cauchy's Continuum Aug 2011

https://www.researchgate.net/publication/45929836_When_is_999_less_than_1/citation/download
When is .999... less than 1? Jul 2010

https://www.researchgate.net/publication/227209382_Zooming_in_on_infinitesimal_1-9_in_a_post-triumvirate_era/citation/download
Zooming in on infinitesimal 1?.9.. in a post-triumvirate era Jul 2010

https://www.researchgate.net/publication/23756874_A_strict_non-standard_inequality_999_1/citation/download
A strict non-standard inequality .999... < 1 Dec 2008

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/705

712: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/12(日) 10:03:39.76 ID:/6i4k5qr

>>689

WILLIAM P. THURSTON ｗｗｗ（＾＾
（参考）
https://arxiv.org/pdf/math/9404236.pdf
APPEARED IN BULLETIN OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 30, Number 2, April 1994, Pages 161-177
ON PROOF AND PROGRESS IN MATHEMATICS
WILLIAM P. THURSTON
(抜粋)
2. How do people understand mathematics?

This is a very hard question. Understanding is an individual and internal matter
that is hard to be fully aware of, hard to understand and often hard to communicate.
We can only touch on it lightly here.
People have very different ways of understanding particular pieces of mathematics. To illustrate this, it is best to take an example that practicing mathematicians
understand in multiple ways, but that we see our students struggling with. The
derivative of a function fits well. The derivative can be thought of as:
(1) Infinitesimal: the ratio of the infinitesimal change in the value of a function
to the infinitesimal change in a function.
(2) Symbolic: the derivative of x^n is nx^(n-1), the derivative of sin(x) is cos(x),
the derivative of f ・ g is f′ ・ g * g′, etc.
(3) Logical: f′(x) = d if and only if for every ε there is a δ such that when
0 < |Δx| < δ,
|{(f(x + Δx) - f(x))/Δx}- d |< δ.
(4) Geometric: the derivative is the slope of a line tangent to the graph of the
function, if the graph has a tangent.
(5) Rate: the instantaneous speed of f(t), when t is time.
(6) Approximation: The derivative of a function is the best linear approximation to the function near a point.
(7) Microscopic: The derivative of a function is the limit of what you get by looking at it under a microscope of higher and higher power.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/712

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