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純粋・応用数学（含むガロア理論）2 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
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676: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/05(日) 12:24:46 ID:UyE0c9o0 >>665 テレンス・タオｗｗｗ（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0 0.999... (抜粋) 数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。実数として"0.999…"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性（英語版）が相応に考慮された、多様な定式化がある 0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる 等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反する（英語版）ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる 超実数 数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限というものだが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。 より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。これに応じて、「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を 略 と理解することができる。このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。 イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。 Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/676
677: １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/05(日) 14:22:05 ID:2HW2ukuX >>676 「テレンス・タオの超極限が…」といいだした時点で セタ君がε-N論法による収束の定義を全く理解していない と露見しちゃったね ついでにいうと、おそらく超極限の定義も全く理解してないんだろうな 単に「0.999…は1より真に小さい」という自分の非論理的直感を 支持する言葉に脊髄反射しただけだろう 自己愛に満ちた素人という「毛深い獣」ほど、真理から遠いものはない まず、その自己愛という「モジャモジャの剛毛」を剃って裸になれ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/677
685: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI [sage] 2020/07/05(日) 18:25:04.10 ID:yUIjS5QS 豪州の数学者テレンス・タオ(Terence Tao、陶哲軒、1975年7月17日 - ) - Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%AA 英国の数学者イアン・ニコラス・スチュアート(Ian Nicholas Stewart,1945年9月24日 - ) - Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%81%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%88_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85) >>676-677 確かにイアンがタオの超極限を基に "「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法"と述べたんは 有限超実数の 0.999…;…999… の事ではなく 0.999…;…999000… の事じゃけぇ違うのう｡ 後者は確かに無限小超実数差が有るが、前者には 1 との差は無い上に スレ題意に従う超実数は後者では無く前者の 0.999…;…999… の方｡ 故に瀬田氏の回答はズレとる｡ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/685
689: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/05(日) 23:24:36.71 ID:UyE0c9o0 >>676 補足 >テレンス・タオｗｗｗ（＾＾ 補足すると １．テレンス・タオが示したように、超実数（無限小を含めたノンスタ（超準））を導入して 「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を・・ "0.999…" は 1 に「無限に近い」とできることを示した ２．イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。 ３．Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした ４．一方で、スタンダード（標準）な実数Rにおいては、アルキメデス距離を導入することで、距離空間として完備であり、ハウスドルフになる そして実数R内で、任意のコーシー点列が、R に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する） 結局、例えば、標準的には、1/9の無限小数展開を、循環小数として、"0.111…"と定義すれば、これは定義の問題であって、証明の問題ではない 1/9＝0.111… と定義されるということ。両辺に9を掛ければ、1＝0.999… が得られる 逆に、1＝0.999…と定義すれば、両辺を9で除して、1/9＝0.111… を得る つまりは、上記の2つの定義は、同値。繰返すが、定義の問題であって、証明の問題ではない！ ５．上記の１〜３のノンスタ（超準）の立場と、上記４のスタンダード（標準）な立場は、21世紀の現代数学内では、両立しうる QED （＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90 超準解析 超準解析（nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった 無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある 超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/689
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