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純粋・応用数学（含むガロア理論）2 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
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55: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/20(土) 15:04:36 ID:OXXW5633 >>53 補足 ここ、味わいましょうね〜！ｗw w （＾＾； ”系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと: ∀U : 開集合, f-11(U) : 開集合. すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/55
56: １３２人目の素数さん [] 2020/06/20(土) 15:06:33 ID:ejsStxc8 >>55 コピペじゃなくて自分の言葉でお願いしますね あと、一番下の答えに答えてませんよ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/56
71: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/20(土) 18:08:37 ID:OXXW5633 >>68 問題 1.41. 次を示せ: (1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続, （>>55より） "連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの 大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって 連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を 自然に定義することができる.” 逆像を考える 開区間 y ：＝（-1,+1）の逆像は ↓ ｘ ＝（-1/2,+1/2） であるから ”逆像が開集合”成立！ QED ｗ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/71
83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/20(土) 21:24:38 ID:OXXW5633 >>55 追加（＾＾ ”一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります！フィルターすげえ！！というのが上の記事の主題になります。” https://cho-san.hatenablog.jp/entry/2018/06/09/234043 ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ 2018-06-09 位相空間上のフィルターの収束 先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました filter.pdf https://drive.google.com/file/d/1I0IfshQW5bvpnPTYIHfs5mDC5CKk38k9/view?usp=sharing 詳しい証明などは上のpdf（以下上の記事）に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。 フィルターとは位相空間論における「点列」を（ある意味で）一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。 一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります！フィルターすげえ！！というのが上の記事の主題になります。 また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ！！！というのがわかります。 もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。 ∀U∈N(x) ∃N∈N ∀n∈N n>=N⇒xn∈U ただしN(x)はxの近傍系です。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/83
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