純粋・応用数学（含むガロア理論）2

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）2 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

471: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/28(日) 14:42:11 ID:bfBvt+85

>>415 補足

(引用開始)
”ε-δ”だけを、近視眼的に考える
それは、20世紀の日本の大学数学教育の欠点だったように思う
これから 21世紀は、下記の川平 友規先生のような視点（「これからの数学はもっと，『やわらかいもの』になるだろう．」）が、メインストリームになるのではないだろうか？
(引用終り)

21世紀は、”ε-δ”だけを、近視眼的に考えるのではなく
１．”ε-δ”法を、位相空間論の中に位置付ける
２．さらに一般化して、ネットやフィルターを考える
３．圏論の極限余極限を考える
４．超準（無限小・無限大）を考える

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
3 具体例
3.1 距離空間の位相構造

5 連続写像
5.1 一点での連続性

7 収束
7.1 点列の収束
7.2 連続性との関係
7.4 一般化

一般化
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。

これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。

しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。

これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。

例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。

一様連続と一様収束
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である
しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/471

478: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/28(日) 16:53:30 ID:bfBvt+85

>>471

超準 無限小 dxを考えると
二次の微少量の処理とか
微分方程式の変数分離解法とかが
分り易い

http://hooktail.org/misc/index.php?%C8%F9%CA%AC%B7%C1%BC%B0
物理のかぎしっぽ
微分形式
微小量の積

面積分や体積分には， dxdy や dxdydz といった量がたくさん出てきます．ここで，少し考えてみましょう．微積分では，いままで微小量 dx の高次の項，例えば dx^{2} や dx^{3} を無視してきました．少し正確に言えば， dx \rightarrow 0 とした極限では，その影響を無視できると考えて来たわけです．ところが，面積分や体積分には dxdy , dxdydz といった形の微小量が出てきました．ここで『あれ，これは二次以上の微小量なんじゃないの？』と引っ掛かった人がいるかも知れません．

この事情は，直観的には次のように理解できます．図で考えれば， dx^{2} は線素である dx を二乗したのに過ぎないのに対し， dxdy は微小な面積を表わしているという違いが分かると思います．
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/InfinitesimallySmallSmall/Joh-DDD01.gif
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/InfinitesimallySmallSmall/Joh-DDD01.gif

体積素についても同様です．『微小量の高次項は落とす』という，微積分学で使っていた近似は有効で， dS^{2} や dV^{2} が式の中に出てきたら落としてしまって構いません．しかし，線素 dx ，面積素 dS ，体積素 dV は，一口に微小量と言っても 次元が違う微小量 なのです．

重要
dx^{2} は線素という微小量の二次の微小量ですが， dS=dxdy は面積素という微小量の一次の微小量です．

だいたいの直観的理解は上の図から得られると思いますが，正確な議論は解析学によらなければなりません．

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
物理のかぎしっぽ
（微分方程式）
変数分離形

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/478

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.043s