純粋・応用数学（含むガロア理論）2

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655: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/04(土) 22:01:20 ID:CndtYA/1

math jinさんを見て買いました
これいいわ
紙が必要な方は、お早めに
キンドル版もあるみたいだが

なんかね
・圏論と集合論 ／ 渕野昌：これ結構良い
・ソフトウェアの数理モデルと圏論 ／ 檜山正幸：檜山正幸さんて、学者さんでもないのに、すごいね〜

http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3438
青土社
現代思想2020年7月号　特集＝圏論の世界
-現代数学の最前線-

【Discussion】
圏論がひらく豊穣なる思考のインタラクション ／ 加藤文元＋西郷甲矢人

【Keynote/Introduction】
圏論の哲学――圏論的構造主義から圏論的統一科学まで ／ 丸山善宏
圏はどういうものであったか ／ 小原まり子

【Mathematics/Logic】
圏論とトポロジー ／ 玉木大
数論幾何と圏論 ／ 伊藤哲史
圏論的論理学への道案内――論理学と数学をつなぐトポス ／ 荒武永史
圏論と集合論 ／ 渕野昌

【Computing/Language】
コンピュータ科学と圏論についての回想と考察 ／ 三好博之
代数的言語理論の圏論的公理化とガロア理論との統一 ／ 浦本武雄
ソフトウェアの数理モデルと圏論 ／ 檜山正幸

【Sciences/Art】
科学の書き言葉としての圏論 ／ 谷村省吾
普遍性とそのゆらぎ――ネットワークの圏論的諸展開 ／ 春名太一
圏論の展開?脱圏論への転回 ／ 郡司ペギオ幸夫
圏の図式からみた芸術の理論――穴・コホモロジー・アブダクション ／ 久保田晃弘

【Philosophy】
圏論による現象学の深化――射の一元論・モナドロジー・自己 ／ 田口茂＋西郷甲矢人
数学の構造概念はフランスの構造主義にいかなる理解をもたらすか――ブルバキ、カヴァイエス、ロトマン、そして圏論を手引きにして ／ 中村大介
アラン・バディウの哲学と数学の関係についての批判的考察――「概念の哲学」のポスト・カヴァイエス的展開の諸相という観点から ／ 近藤和敬

【連載●科学者の散歩道●第六九回】
新たな居場所を求めて――人格教育と科学 ／ 佐藤文隆

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/655

662: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 09:37:34 ID:UyE0c9o0

>>541-452
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾

εδマンセーは古い
距離空間にしか使えないから
早く、位相空間を学びましょう〜！（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。

収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。

X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。

距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。

これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。

しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。

これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。

例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。

分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。

代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理である：

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/662

676: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 12:24:46 ID:UyE0c9o0

>>665
テレンス・タオｗｗｗ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999...
(抜粋)
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。実数として"0.999…"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性（英語版）が相応に考慮された、多様な定式化がある
0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある
そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反する（英語版）ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる

超実数
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限というものだが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。
より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。これに応じて、「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を
略
と理解することができる。このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/676

681: １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/05(日) 14:55:48 ID:2HW2ukuX

トポスもつきつめれば（直観主義論理による）「代替数学」を提供するようだ

Synthetic differential geometry
https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_differential_geometry

In mathematics, synthetic differential geometry is a formalization of the theory of differential geometry in the language of topos theory.
There are several insights that allow for such a reformulation.
The first is that most of the analytic data for describing the class of smooth manifolds can be encoded into certain fibre bundles on manifolds: namely bundles of jets (see also jet bundle).
The second insight is that the operation of assigning a bundle of jets to a smooth manifold is functorial in nature.
The third insight is that over a certain category, these are representable functors. Furthermore, their representatives are related to the algebras of dual numbers, so that smooth infinitesimal analysis may be used.

Synthetic differential geometry can serve as a platform for formulating certain otherwise obscure or confusing notions from differential geometry.
For example, the meaning of what it means to be natural (or invariant) has a particularly simple expression, even though the formulation in classical differential geometry may be quite difficult.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/681

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