[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）2 (1002ﾚｽ)
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662(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)09:37 ID:UyE0c9o0(1/7) AAS
>>541-452
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾
εδマンセーは古い
距離空間にしか使えないから
早く、位相空間を学びましょう〜！（＾＾
省15
663(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)09:37 ID:UyE0c9o0(2/7) AAS
>>662
つづき
X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、U ∩ V =Φである。
画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
ハウスドルフの分離公理は、点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
全ての位相空間がハウスドルフの分離公理を満たすわけではなく、例えば密着位相の入った空間には開集合は全体集合と空集合しかないのでこのような区別は不可能である。
省11
665(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)09:47 ID:UyE0c9o0(3/7) AAS
>>660-661
>２．0.999…は実は1と等しいことを示せ
その問いには、穴がある
「等しい」の定義がないｗｗｗ（＾＾
「等しい」の定義に仕方によっては
0.999…と 1とは、「等しい」とは言えない！
proof
省10
666(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)09:48 ID:UyE0c9o0(4/7) AAS
>>664
＞実数の位相をどうやって定義するつもりかね？
実数Rを、距離空間と考えるｗ（＾＾
QED
676(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)12:24 ID:UyE0c9o0(5/7) AAS
>>665
テレンス・タオｗｗｗ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
0.999...
(抜粋)
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。実数として"0.999…"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性（英語版）が相応に考慮された、多様な定式化がある
0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある
省9
689(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)23:24 ID:UyE0c9o0(6/7) AAS
>>676 補足
>テレンス・タオｗｗｗ（＾＾
補足すると
１．テレンス・タオが示したように、超実数（無限小を含めたノンスタ（超準））を導入して
「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を・・ "0.999…" は 1 に「無限に近い」とできることを示した
２．イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
３．Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした
省16
690: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/05(日)23:24 ID:UyE0c9o0(7/7) AAS
>>689
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
位相空間
距離空間は必ずハウスドルフの分離公理を満たし、ハウスドルフの分離公理を満たす空間(ハウスドルフ空間)では点列の収束の一意性が成り立つことが知られている
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備距離空間
省3
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