純粋・応用数学（含むガロア理論）2

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34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/20(土) 12:25:39 ID:OXXW5633

>>23-24
イプシロンデルタと同値な言い換えは、21世紀では沢山あるよ
だから、「イプシロンデルタ使われている」ってことと
「イプシロンデルタ使われている」ことと違うよ

そして、「ポアンカレ予想」のペレルマンの論文中には、イプシロンデルタ無いよ。いま念のために確認したがないぜ（＾＾；
　”シンプレクティック幾何の発展の基礎となったフレアの一連の論文とかだってイプシロンデルタ使われてるよ” って、どれ？
具体的に

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
グリゴリー・ペレルマン

ペレルマンとポアンカレ予想
arXiv で以下の3つのプレプリント（Preprint）を発表し、ポアンカレ予想を解決したと宣言した。
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002年11月11日
https://arxiv.org/abs/math/0211159
Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003年3月10日
https://arxiv.org/abs/math/0303109
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003年7月17日
https://arxiv.org/abs/math/0307245
彼は、ウィリアム・サーストンの幾何化予想（ポアンカレ予想を含む）を解決して、その系としてポアンカレ予想を解決した。そして、そのときに採用した手法も、リチャード・S・ハミルトンの発見したリッチ・フロー（Ricci flow）（ハミルトン・ペレルマンのリッチ・フロー理論）と統計力学を用いた独創的なものである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/34

53: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/20(土) 15:01:36 ID:OXXW5633

>>37
ほいよ（＾＾

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/07tsuron1.html
数学通論 I （2007年度前期） Tamaru 広大
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron.pdf
数学通論 I （2007年度前期）
第 1 章
実数
本章では実数に関する諸概念を学ぶ. ここで学んだ概念は, 後に距離空間や位相空間に
対して拡張される. いきなり距離空間・位相空間を扱うと抽象的になり過ぎてしまうこと
が多々あるので, その準備として, まずここで実数の場合を扱う.

1.5 連続写像
実数や距離空間や位相空間において, 連続写像は非常に重要な概念である. これは, 線
型空間において線型写像が重要であったことと同様. このように, 集合（とその上の構造）
と写像（でその構造と合致するもの）を合わせて考えることは, 現代数学では非常に基本
的な考え方である

定義 1.39. A ⊂ R とする. 写像 f : A → R が点 a ∈ A で 連続（continuous）とは, 次
が成り立つこと: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(U(a; δ) ∩ A) ⊂ U(f(a); ε).
この連続の定義は, 解析学などでは次のように書かれることが多い.
問題 1.40. 写像 f : R → R が点 a ∈ R で連続であることと, 次が同値であることを示
せ: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x ? a| < δ ⇒ |f(x) ? f(a)| < ε.
連続の直感的なイメージは, グラフが繋がっていることである.

定理 1.44. 写像 f : A → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
∀U : 開集合, ∃O : 開集合 s.t. f?1(U) = A ∩ O.

系 1.45. 写像 f : R → R が連続であるための必要十分条件は, 次が成り立つこと:
∀U : 開集合, f?1(U) : 開集合.
すなわち, 連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε ? δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/53

415: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 13:02:55 ID:jEjJjPRO

>>134 補足

”ε-δ”だけを、近視眼的に考える
それは、20世紀の日本の大学数学教育の欠点だったように思う
これから 21世紀は、下記の川平 友規先生のような視点（「これからの数学はもっと，『やわらかいもの』になるだろう．」）が、メインストリームになるのではないだろうか？

なお、下記 「位相空間」 ”任意に小さい ε > 0 ”（川平 友規）ってことです
”任意に小さい ε > 0 ”＝”ε近傍”ってことです（≠遠傍（ではない）ですよ）。εに1000000000000 なんて、おバカですよｗ（＾＾；
　∵ 開集合系の定義 「(O3) 任意の集合 Λ にたいし，各元 λ ∈ Λ から O の元 Oλ ∈ O への対応を与えたとき，∪λ∈Λ Oλ ∈ O」
　つまりは、各1つの開集合（近傍）たちの可算和（集合）も、また 開集合ですから、本質的に ”任意に小さい ε > 0 ”を問題にすべきなのです！ QED！ｗ ）

（参考）
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso.html
多様体の基礎のキソ
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kiso/03-isou.pdf
３．位相空間の基礎のキソ （ver.20170131）
第3章 位相空間の基礎のキソ
(抜粋)
多様体はある種の「位相空間」として定義される．注1
（注1：そもそも多様体の解説をするのに，抽象的な位相空間の定義は必要だろうか．多様体は，局所的にユーク
リッド空間と「みなせる」集合である．この「みなせる」を数学では「同相写像が存在する」と言い換えるのだ
が，これがもういけない．同相というのは「同位相」のことであり，位相という概念が使われているのである．）

その定義に先立って，この章では「位相空間」とは何か，という（大学２，３年生レベルの）難題にヒントを与えたい．
ただし，以下で述べるような抽象的な位相空間として多様体を認識することは以後ほとんどないの
で，すでに位相空間というものに自分なりのイメージをもっている人は，読み飛ばして時間
を節約したほうがよいだろう．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/415

471: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/28(日) 14:42:11 ID:bfBvt+85

>>415 補足

(引用開始)
”ε-δ”だけを、近視眼的に考える
それは、20世紀の日本の大学数学教育の欠点だったように思う
これから 21世紀は、下記の川平 友規先生のような視点（「これからの数学はもっと，『やわらかいもの』になるだろう．」）が、メインストリームになるのではないだろうか？
(引用終り)

21世紀は、”ε-δ”だけを、近視眼的に考えるのではなく
１．”ε-δ”法を、位相空間論の中に位置付ける
２．さらに一般化して、ネットやフィルターを考える
３．圏論の極限余極限を考える
４．超準（無限小・無限大）を考える

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
3 具体例
3.1 距離空間の位相構造

5 連続写像
5.1 一点での連続性

7 収束
7.1 点列の収束
7.2 連続性との関係
7.4 一般化

一般化
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。

これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。

しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。

これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。

例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。

一様連続と一様収束
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である
しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/471

538: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/01(水) 14:42:38 ID:k+r32g6d

>>537 補足

・時は、19世紀
　カントールの無限集合論が出現するまえ
・当時の数学者たちは、当時の数学者たちは
　無限大や無限小を、数学的に定義できていなかった
・コーシーやワイエルシュトラスたちは、厳密に微分積分論を展開するために
　あいまいな”無限大や無限小”という用語を使わずに、理論を展開したいなと ”εδ論法”を考えたのだった
・まあ、当時としては
　大発明。ワットの蒸気機関の発明みたいなものですな
・そして、日本の高等教育では、20世紀の半ばまで、”εδ論法マンセー！”という時代がありました
　曰く「（大学に入学した高校生に対して）おまいらの高校数学はいい加減なのだ〜。lim →∞ で、ゴマカシだ〜！　大学の数学では”εδ論法マンセー！”なのだ〜！」と叫ぶ人多しｗｗ（＾＾；
・しかし、20世紀後半から、新しい発明が出てきました。位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限
　それは、あたかも、蒸気機関から、電気機関車やディーゼルや、ガソリンエンジンなどなどに、変わっていくがごとしなのです（＾＾
・いまだに時代錯誤の”εδ論法マンセー！”を叫ぶ おバカたち、哀れｗｗｗ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB
ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年3月3日 - 1918年1月6日）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras 1815年10月31日 ? 1897年2月19日）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%83%83%E3%83%88
ジェームズ・ワット（James Watt FRS FRSE, 1736年1月19日 - 1819年8月25日）は、スコットランド出身の発明家、機械技術者。トーマス・ニューコメンの蒸気機関へ施した改良を通じて、イギリスのみならず全世界の産業革命の進展に寄与した人物である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/538

662: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 09:37:34 ID:UyE0c9o0

>>541-452
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾

εδマンセーは古い
距離空間にしか使えないから
早く、位相空間を学びましょう〜！（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。

収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。

X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。

距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。

これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。

分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。

代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理である：

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/662

676: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 12:24:46 ID:UyE0c9o0

>>665
テレンス・タオｗｗｗ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999...
(抜粋)
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。実数として"0.999…"と「1」は同じ数であると示すことができる。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階の数学的厳密性（英語版）が相応に考慮された、多様な定式化がある
0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある
そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反する（英語版）ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる

超実数
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限というものだが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。
より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。これに応じて、「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を
略
と理解することができる。このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/676

689: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/05(日) 23:24:36.71 ID:UyE0c9o0

>>676 補足
>テレンス・タオｗｗｗ（＾＾

補足すると
１．テレンス・タオが示したように、超実数（無限小を含めたノンスタ（超準））を導入して
　「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を・・ "0.999…" は 1 に「無限に近い」とできることを示した
２．イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
３．Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした
４．一方で、スタンダード（標準）な実数Rにおいては、アルキメデス距離を導入することで、距離空間として完備であり、ハウスドルフになる
　そして実数R内で、任意のコーシー点列が、R に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）
　結局、例えば、標準的には、1/9の無限小数展開を、循環小数として、"0.111…"と定義すれば、これは定義の問題であって、証明の問題ではない
　1/9＝0.111… と定義されるということ。両辺に9を掛ければ、1＝0.999… が得られる
　逆に、1＝0.999…と定義すれば、両辺を9で除して、1/9＝0.111… を得る
　つまりは、上記の2つの定義は、同値。繰返すが、定義の問題であって、証明の問題ではない！
５．上記の１〜３のノンスタ（超準）の立場と、上記４のスタンダード（標準）な立場は、21世紀の現代数学内では、両立しうる

QED （＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
超準解析（nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する
Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった
無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある
超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/689

859: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/19(日) 19:50:24.65 ID:2Y0qBKwb

>>853
どうも

>クロポトキンとか、よく分からないんですが(たぶんポチョムキン)出てくるワードの響きが、懐かしいですねぇ…!
>コサックとかタタール人とか、ロシア極東付近のエスニックなお話とか、

多分、クロポトキンは、日露戦争のときの陸軍の将軍では？
まさか、日露戦争に従軍したとは思えないけど
その当時の話でしょうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%91%E3%83%88%E3%82%AD%E3%83%B3
アレクセイ・ニコラエヴィッチ・クロパトキン（1848年3月29日 - 1925年1月16日）は、帝政ロシアの軍人。
陸軍大臣、日露戦争時のロシア満州軍総司令官を歴任した。

https://kotobank.jp/word/%E3%82%BF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%81%8F%E3%81%B3%E3%81%8D-1183197
コトバンク
タタールのくびき（英語表記）Tatarskoe igo
世界大百科事典内のタタールのくびきの言及
【キプチャク･ハーン国】より
…版図は，東はイルティシュ流域から西はドニエストル川，北はブルガールから南はカフカス，シル･ダリヤ中流域に及び，ルーシ(ロシア)も属国となって貢租を支払った。ロシア史ではこれを〈タタールのくびき〉と呼ぶ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%82%B5%E3%83%83%E3%82%AF
コサック

19世紀に入ると、ロシアにおけるコサックは貴族・聖職者・農民・商人とならぶ階級の一つとなり、税金免除の引き換えに騎兵として常の兵役の義務が課された。ロシアはザポロージャ・コサックとドン・コサックをモデルに植民地化すべく地域において十数のコサック軍団を編成し、それらを国境防備や治安維持などのために活用した。19世紀中頃の極東地域では、こうしたコサック団が集ってアムール川支流のビラ川やゼヤ川沿岸と周辺地域に入植し、同地の開拓を行っている。コサック諸団の中に、ドン・コサックと並んで、カフカズ戦争やロシア・トルコ戦争に高名をあげたクバーニ・コサックの役割が大きかった。
1917年にロシア革命が勃発してロシア内戦が始まると、ウクライナ、ドン、クバーニにおいてコサック三国が独立を宣言した。三国はロシア白軍およびシベリアのコサック諸軍と共にロシアの共産党とその赤軍に抵抗したが、敗北した。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/859

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