[過去ﾛｸﾞ] なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？ (381ﾚｽ)

なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/

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14: １３２人目の素数さん [] 2020/05/09(土) 22:30:14.99 ID:wuUnu6Xu 自然数と足し算の定義は既知とする　a + b = b + aも既知とする 自然数　m　と　自然数 n　について m ｘ n　を m を n 回足した数と定義する ＜補題１＞ 任意の自然数 p, q, rに対し、 p x (q + r) = p x q + p x r 証明 左辺は定義より pをq + r 回足した数　これは、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。 右辺は、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。 したがって左辺と右辺は等しい ＜補題２＞ 任意の自然数 p, q, rに対し、 (p + q) x r = p x r + q x r 証明 左辺は定義より p + qをr回足した数である。これは結局、pをr回足した数にqをr回足した数を加えた数になる 右辺は、 pをr回足した数に、 qをr回足した数を加えた数である。 したがって左辺と右辺は等しい ＜定理　１＞ 任意の自然数 p, q, r, sに対し、 (p + q) x (r + s) = p x r + p x s + q x r + q x s 証明 補題 1補題2より成立する 定理 2 任意の自然数 p, qに対し p x q = q x p 証明 帰納法で証明する p = 1, q = 1については成立する p = m、q = nで成り立てば　すなわち　m x n　= n x mであれば p = m + 1、q = nに対し (m + 1) x n = m x n + n n x (m + 1) = n x m + n ∴　(m + 1) x n　= n x (m + 1) p = m、q = n + 1に対し m x (n +1)　= (n+1) x m よって、任意の自然数についてp x q = q x pが示された http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/14

16: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/05/09(土) 23:27:42.29 ID:NFbqSkQk >>14-15 すげー パチパチパチ〜！（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/16

30: チコちゃん [] 2020/05/10(日) 06:58:46.78 ID:vZYbiwt9 >>29の訂正 誤　>>12 正　>>11 >>14 正直＜補題１＞＜補題２＞は証明になってないけど ここではカタイこといわずに＜定理１＞を認めるとすれば ＜定理２＞の証明はそんなもんだね で、実は、一般的な分配法則まで必要とせず （もちろん、帰納法を使えば証明できるけど） >>29でも述べたように 「ｍ＊０＝０ 　ｍ＊（ｎ＋１）＝ｍ＊ｎ＋ｍ」 を掛け算の定義として 「０＊ｍ＝０ （ｎ＋１）＊ｍ＝ｎ＊ｍ＋ｎ」 が定理１として証明できればいい ということで、>>11、やってみｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/30

60: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/05/10(日) 23:44:25.67 ID:mjl0bfS3 >>31 （>>11より） １．”積（＊）”の定義で、まずは自然数どうしの積： 　m＊n ：＝m+m+・・・+m （n回の和） 　で定義するとして ２．n＊m ：＝n+n+・・・+n （m回の和） ３．もし、自然数どうしで 上記１と２が等しければ、自然数で「掛け算の順序を交換しても答えが同じ」が言える 　これの証明は、結構難しい。多分、二重の数学的帰納法でも使う？　具体的な証明の形は言えないけど、なので多分な ｗｗ（＾＾； (引用終り) ここで、証明すべき命題は 任意の自然数m,n (>=1)に対して m＊n ：＝m+m+・・・+m （n回の和）＝n+n+・・・+n （m回の和）＝：n＊m を示せ ということ ・当然、数学的帰納法が閃くけど、自然数m,n ２重の帰納法だ ・で、全部書いちゃ 面白くないのと、私は ５ｃｈでは 「証明は書かない」、５ｃｈの「（素人）証明は （基本的には） 読まない」主義なんだ ・>>11を書いたあと、ちょっと考えると 　(１，１)〜（ｍ，ｎ）まで成立つとして、 　ａ）ｍ＋１の場合 　ｂ）ｎ＋１の場合 　ｃ）（ｍ＋１，ｎ＋１） 　の３つの場合分けで 証明できそうだと浮かんだけど ・まあ、大体 >>14（ID:wuUnu6Xuさん）に近いよね 　>>14（ID:wuUnu6Xuさん）は、分配法則から ＜補題１＞とかキチンと書いているから、この人エライと思ったな（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/60

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