[過去ﾛｸﾞ] なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？ (381ﾚｽ)

なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/

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14: １３２人目の素数さん [] 2020/05/09(土) 22:30:14.99 ID:wuUnu6Xu 自然数と足し算の定義は既知とする　a + b = b + aも既知とする 自然数　m　と　自然数 n　について m ｘ n　を m を n 回足した数と定義する ＜補題１＞ 任意の自然数 p, q, rに対し、 p x (q + r) = p x q + p x r 証明 左辺は定義より pをq + r 回足した数　これは、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。 右辺は、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。 したがって左辺と右辺は等しい ＜補題２＞ 任意の自然数 p, q, rに対し、 (p + q) x r = p x r + q x r 証明 左辺は定義より p + qをr回足した数である。これは結局、pをr回足した数にqをr回足した数を加えた数になる 右辺は、 pをr回足した数に、 qをr回足した数を加えた数である。 したがって左辺と右辺は等しい ＜定理　１＞ 任意の自然数 p, q, r, sに対し、 (p + q) x (r + s) = p x r + p x s + q x r + q x s 証明 補題 1補題2より成立する 定理 2 任意の自然数 p, qに対し p x q = q x p 証明 帰納法で証明する p = 1, q = 1については成立する p = m、q = nで成り立てば　すなわち　m x n　= n x mであれば p = m + 1、q = nに対し (m + 1) x n = m x n + n n x (m + 1) = n x m + n ∴　(m + 1) x n　= n x (m + 1) p = m、q = n + 1に対し m x (n +1)　= (n+1) x m よって、任意の自然数についてp x q = q x pが示された http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589008460/14

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