[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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329(4): 2020/02/28(金)00:14 ID:jpva1bJt(1/2) AAS
Nが1より大きい整数のとき、複素数や複素平面を使わずに
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
を証明せよ。

Nが偶数の時は単位円をN等分してみれば対称性からすぐ証明できます。
Nが奇数の時が難しくて悩んでいます。
お願いします。
幾何学的に解くのか、三角関数の公式を駆使して解くのか、数学的帰納法は「N」が分母にいるから難しそうだし・・・・。
省9

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330: 2020/02/28(金)00:56 ID:9IFv45Oy(1) AAS
>>329
後者複素平面使ってる？

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333: 2020/02/28(金)01:06 ID:hTFeapkM(1/2) AAS
>>329
行列: M :={(cos(2π/N), -sin(2π/N)),( +sin(2π/N), +cos(2π/N))} と置くと
M^k = {(cos(k2π/N), -sin(k2π/N)),( +sin(k2π/N), +cos(k2π/N))} (帰納法で示せる)
S := M + M^2 + ... + M^N と置いて...
MS = M^2 + M^2 + ... + M^{N+1}
(M-1)S = M^{N+1} - M = M - M = 0
det(M-1) = (c-1)^2 + s^2 = 2 (1-c) = 4 sin(π/N)^2 より S = 0
省1

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341: 2020/02/28(金)18:05 ID:OsAJZC7k(1/3) AAS
>>329
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/2sin(π/N)
=0

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347: 2020/02/28(金)21:19 ID:jpva1bJt(2/2) AAS
>>331
>>329です
ありがとうございます。感謝します

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