[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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242(3): 2020/02/23(日)09:56 ID:sm1T7+nt(1/3) AAS
ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。
つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。
無限級数の収束性等は既知とします。

f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。

出典は特にありません、答えも分かりません。

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244(1): 2020/02/23(日)13:09 ID:l2/N4aPd(1) AAS
>>242
まず定義式から
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
exp(r+iθ) = exp(r)(cosθ + i sinθ)：cosθ, sinθは単に級数で定義された関数
を証明する
共役複素数を掛けて
exp(2r) = exp((r+iθ)+(r-iθ)) = exp(r)(cosθ + i sinθ)exp(r)(cosθ - i sinθ)
省3

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252: 2020/02/23(日)18:01 ID:x1qWF4GD(2/8) AAS
AA省

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260: 242 2020/02/23(日)19:22 ID:sm1T7+nt(3/3) AAS
>>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。
cos(0) = +1
cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ...
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...)
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2
= -43/105 < 0
∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない)
省4

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