[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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828: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 20:27:13.34 ID:pXCkMYHU nを自然数とする。 袋の中にn個の青球と2個の白球がある。以下の試行を繰り返し行う。 【試行】 1)袋の中から無作為に同時に2個の球を取り出し、 「ともに白球の場合、『勝ち』とする」 「白球1つと青球1つの場合、『負け』とする」 「ともに青球の場合、『あいこ』とさる」 2)『勝ち』または『負け』の場合、試行を終了する。『あいこ』の場合、もう1回試行を行う。 この試行が終了するまでに行った試行の回数の期待値E(n)をnで表し、また試行が『勝ち』で終了する条件付き確率をnで表せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/828

876: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/22(日) 23:54:02.20 ID:liILqu/N >>828 シミュレーションプログラムの練習　数理解は賢者にお任せ [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] En 1.0000 1.1991 1.4378 1.6744 1.9163 2.1544 2.3992 2.6329 2.9352 3.1542 3.4106 Pn 0.3405 0.1997 0.1483 0.1148 0.0917 0.0775 0.0700 0.0608 0.0516 0.0458 0.0416 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] En 3.6105 3.8742 4.1257 4.3780 4.6665 4.7706 5.0866 5.4512 5.6246 5.8261 6.1474 Pn 0.0375 0.0381 0.0383 0.0308 0.0295 0.0296 0.0269 0.0223 0.0227 0.0221 0.0239 [,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] En 6.5768 6.5863 6.8209 7.0221 7.3743 7.652 7.8525 8.1056 Pn 0.0217 0.0204 0.0189 0.0202 0.0183 0.017 0.0166 0.0161 fn <- function(n){ B=c(rep(1,n),0,0) # 1:青玉 0:白玉 flg=3 # drawを初期値 i=0 # 試行の回数カウンター while(flg==3){ # drawなら繰り返す　1:win 2:lose 3:draw i=i+1 flg=(1:3)[sum(sample(B,2))+1] # (1:3)[sum(c(0,0))+1] : win } c(i=i,flg=flg) } sim <- function(n){ k=1e4 re=t(replicate(k,fn(n))) c(mean(re[,'i']),mean(re[,'flg']==1)) # 回数と勝率を返す } n=1:30 re=sapply(n,sim) En=re[1,] plot(n,En,bty='l',pch=19) Pn=re[2,] plot(n,Pn,bty='l',pch=19) rownames(re)=c('En','Pn') re http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/876

878: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/23(月) 04:05:11.11 ID:uvHIelYA >>828 E(n) = (n+2)*(n+1)/(4*n+2) > E(1:30) [1] 1.0000 1.2000 1.4286 1.6667 1.9091 2.1538 2.4000 2.6471 2.8947 3.1429 3.3913 [12] 3.6400 3.8889 4.1379 4.3871 4.6364 4.8857 5.1351 5.3846 5.6341 5.8837 6.1333 [23] 6.3830 6.6327 6.8824 7.1321 7.3818 7.6316 7.8814 8.1311 >876のシミュレーションと近似している pw=choose(2,2)/choose(n+2,2) # Pr[win] pl=2*n/choose(n+2,2) # Pr[lose] p=pw+pl q=1-p # Pr[draw] # 1*p + 2*q*p + 3*q^2*p + 4*q^3*p + i*q^(i-1)*p # Σ[i=1,i=m] i*q^(i-1)*p # p*Σi*q^(i-1) # p*Σd(q^i)/dq # p*d(Σq^i)/dq # p*d((1-q^m)/(1-q)) # m→∞ q^m→0 # p*d/dq(1/(1 - q)) = p/(1 - q)^2 = 1/p http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/878

879: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/23(月) 05:09:19.45 ID:uvHIelYA >>828 2）　 1/(n+1)　かな？ シミュレーションかこっちのどちらかが間違いだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/879

880: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/23(月) 11:47:06.63 ID:Q1ISEmaR >>828 nが偶数の場合 P[win] = (n+2)/2 * 2!n!/ (n+2)! = 1/(n+1) {n+2個をシャッフルして偶境界に白白} E[n; win] = ( 1 + 2 + ... + (n+2)/2 ) * 2!n!/ (n+2)! = ... E[n; lose] = (1*2n + 2*2(n-2) + .... + n/2*2*2 ) * 2!n!/ (n+2)!　{n+2個をシャッフルして偶境界に黒白or白黒、その後方に白} 　= ... nが奇数の場合も同様 (便利な公式) 1*N + 2*(N-1) + ... +(N-1)*2 + N*1 1*(N+1-1) + 2*(N+1-2) + ... +(N-1)*(N+1-(N-1)) + N*(N+1-N) = (1+2+...+N)(N+1) - (1^2 + 2^2 + ... + N^2) = N(N+1)(N+1)/2 - N(N+1)(2N+1)/6 = N(N+1)(N+2)/6 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/880

881: １３２人目の素数さん [] 2020/03/23(月) 12:56:08.97 ID:mjeu1Sts >>828 非復元試行だね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/881

882: １３２人目の素数さん [] 2020/03/23(月) 13:39:57.58 ID:mjeu1Sts >>828 k回目にあいこになる確率をpkとすると k+1回目の始まる時点では青石がn-2k個になっているので n-2k<2ならp(k+1)=0 n-2k≧2ならp(k+1)=pk・(n-2kC2)/(n-2k+2C2)=pk・(n-2k)(n-2k-1)/(n-2k+2)(n-2k+1) n-2k=0,1いずれでも p(k+1)=pk・(n-2kC2)/(n-2k+2C2)=pk・(n-2k)(n-2k-1)/(n-2k+2)(n-2k+1) としてよいので この漸化式で0になるまでと考えると k+1≦n/2でp(k+1)=p1・(n-2k)(n-2k-1)/n(n-1)=(n-2k)(n-2k-1)/(n+2)(n+1) k+1>n/2でp(k+1)=0 k+1回目に終了する確率はpk-p(k+1)なので試行回数の期待値は Σ(k+1)(pk-p(k+1))=Σpk-うーん面倒 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/882

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