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分からない問題はここに書いてね458 (1002レス)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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746: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/19(木) 22:04:33.79 ID:FC13N0bq L個ある数値について 各項目を四捨五入して合計した値と 合計値を四捨五入して合計した値が 一致しない確率は 1-( (6/(π×L))^(1/2) ) で求まるそうなんです。 問題1 この式の導き方を教えて下さい。 なぜ円周率が・・・? 問題2 毎年、ある会合にかかった費用を、A,B,C,D,Eの5人で支払うことになってます。 費用は毎年変わるのですが、 5人の支払い比率は、a%、b%、c%、d%、e% (a>b>c>d>e>0) で毎年一定です。 (例えば32.3%、24.1%、21.6%、16.8%、5.2%) 1円未満は四捨五入しますが、一致しなかった時はAで差額(±1円)を調整します。 つまり、AのN年間の調整額の合計の期待値は約0円です(おそらく)。 20年経ったとき、Aの調整額の合計が+10円になる確率はいくらですか? N年経ったとき、Aの調整額の合計がM円になる確率はいくらですか? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/746
748: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 00:29:17.58 ID:p5Mf5Wxl >>746 L→∞で正規分布が出てくる関係かな? 確率密度関数に1/√(2π)というのがあったような http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/748
757: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 07:51:30.64 ID:p5Mf5Wxl >>746 L個の実数を一様分布で抽出して2〜50でシミュレーションしてみた。 https://i.imgur.com/ppslW60.png Lが大きくなると1-( (6/(π×L))^(1/2) )に一致するようです。 数理は賢者にお任せ。 rm(list=ls()) f45 <- function(a) { # 四捨五入 x=a-floor(a) # floor(a):aを超えない整数ガウス記号[x]と同じ,x:小数部分をxに入れる floor(a)+ (x>=0.5) # xが0.5以上なら1をそうでないなら0を加える } f45(1.5) ; f45(2.5) round(1.5) ; round(2.5) sim <- function(n=3,k=1e4){ sub <- function(n){ x=runif(n) # 一様分布乱数(実数)n個の配列 roundならrunif(n,0,2) y=numeric(n) # y:四捨五入での整数を入れる配列 for(i in 1:n) y[i]=f45(x[i]) # xの各実数を四捨五入してyに入れる f45(sum(x))!=sum(y) # xの総和の四捨五入数とyの総和が異なればTRUEを返す } r=mean(replicate(k,sub(n))) # k個のシミュレーションでのTRUEの頻度を返す p=1-( sqrt(6/(pi*n)) ) # 理論値? return(c(r,p)) } L=2:50 plot(L,sapply(L,function(x) 1-( sqrt(6/(pi*x)))),bty='l',type='l') re=t(sapply(L,function(x) sim(x))) plot(re,bty='l',pch=19,asp=1,xlab='実験値',ylab='理論値',type='l') abline(a=0,b=1,lty=3) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/757
758: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 08:09:31.37 ID:ULA/5c7b >>746 それちょっと前に面白い問題スレにでてたやつじゃないの? 答え違ってなかったっけ? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/758
759: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 09:46:50.78 ID:1YkioBb1 >>746 ランダム整数: x[i] {なんらかの範囲の一様分布} ランダム偏差: α[i] ∈ [-0.5,0.5) {一様分布} A = Σ[i=1,L] round(x[i]+α[i]) = Σ[i=1,L] x[i] B = round( Σ[i=1,L](x[i]+α[i]) ) = A + round(Σ[i=1,L]α[i]) A=B ⇔ -0.5 < α[1]+α[2]+...+α[L] < 0.5 s := α[1]+α[2]+...+α[L] 中心極限定理より Lが大の時、 確率分布: f(s) ≒ 1/√(2πσσ) * exp(- s^2/(2σσ) ) 標準偏差: σ ≒ (√L)* σ1, ( σ1 := √{ ∫[α=-0.5,+0.5] α^2 dα } = 1/√12 ) 1-P = ∫[s=-0.5,+0.5] f(s) ds ≒ 1/√(2πσσ) = √(6/(πL)) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/759
762: 132人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 13:05:55.24 ID:p5Mf5Wxl >>746 四捨五入前の支払いが5.5,4.5,3.5,2.5,1.5とするとAは-2円にならないかな? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/762
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