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分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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718: １３２人目の素数さん [] 2020/03/18(水) 20:24:26.05 ID:lfw++vLD >>715-716 たぶん式はあってるけど、「nによらない定数」って日本語が間違ってる。 1つめの有理式は、分母を複素数の範囲で(x-a)(x-b)と因数分解すると aやbは1の6乗根となる。 そして1/(x-a)と1/(x-b)のべき級数展開を考え、2つのべき級数展開の積 であることからx^3、x^6、x^9の係数を求めてみる。 2つめの有理式の3倍を部分分数分解する。 2つの有理式のべき級数展開を考え、2つのべき級数展開の和から3q[n]を出す。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/718
719: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/18(水) 22:42:44.30 ID:GwJqdJPg >>718 （1）を計算しましたが確かに(-1)^nになってnに依存しないとは言えませんね。ありがとうございます。 （2）の計算、（多項式）×（多項式）からn次の係数をどう出そうか方針が立たないです。分かる方お願いします。 どうやら数学検定1級の計算問題らしいです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/719
720: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/18(水) 23:22:24.44 ID:FKTohgBq >>719 3/(1-x-2xx) = 3/((1-2x)(1+x)) = 2/(1-2x) + 1/(1+x) = 2/(1-(2x)) + 1/(1+(-x)) = 2* (1 + (2x) + (2x)^2 + ... ) + (1 + (-x) + (-x)^2 + ... ) = ... >>718 の「部分分数分解」がヒントですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/720
727: １３２人目の素数さん [] 2020/03/19(木) 04:45:40.82 ID:o+4AW6nT >>719 >>722 >718です。べき級数展開の積でやるのはこんな感じです まず、 1/(1-x+x^2)=1/{(x-a)(x-b)} と因数分解すると a=(1+i√3)/2=e^(2πi/6), b=(1-i√3)/2=e^(-2πi/6) である ここで a^3=-1 と 1/b=a に注意しておく 1/(x-a)=1/(-a) * 1/{1-(x/a)} =1/(-a)*{1+(x/a)+1+(x/a)^2+1+(x/a)^3+…} 同様に 1/(x-b)=1/(-b) * 1/{1-(x/b)} =1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…} =1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…} =(-a)*(1+ax+1+(ax)^2+1+(ax)^3+…) すると、 1/(x-a) * 1/(x-b) のx^(3n)の項は、 (x/a)^(3n)*1+(x/a)^(3n-1)*ax+(x/a)^(3n-2)*(ax)^2+ … +(x/a)^2*(ax)^(3n-2)+(x/a)*(ax)^(3n-1)+(ax)^(3n) よってこの係数は (1/a)^(3n)+(1/a)^(3n-2)+(1/a)^(3n-4)+ … +a^(3n-4)+a^(3n-2)+a^(3n) =(1/a)^(3n)*{1+a^2+a^4+ … +a^(6n-4)+a^(6n-2)+a^(6n)} =(1/a)^(3n)*{1-(a^2)^(3n+1)}/(1-a^2) =1/(-1)^n *{1-a^(6n)*a^2}/(1-a^2) =(-1)^n ある分野ではこんなべき級数展開の積をばんばんやるのですが、 でも、この問題では>723の方がエレガントですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/727
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