分からない問題はここに書いてね458

[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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667: １３２人目の素数さん [] 2020/03/15(日) 22:52:12.35 ID:cOtagSUy

>>661
怖くなってきたので煩雑ですが一応証明を書いておきます。

「nは偶数,k∈{1,2,...,n}とする。
1<√(n+1),√(n-1)(n+1)<n<√{n(n+1)}<n+1より、区間[0,1)∪[n,n+1)には√{k(n+1)}が一つ含まれる.

i,j∈{1,2,...,n-1}とする。
(i+1)^2-i^2=2i+1<2(n+1)より区間[i,i+1)に含まれるような√{k(n+1)}は高々２個。

[i,i+1)に√{k(n+1)}が２個含まれる
⇔i<√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔i^2<(n+1)j,(n+1)(j+1)<(i+1)^2
⇒(n-i)^2>(n+1)(n+1-2i)+(n+1)(j+1)>(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2<(n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔√{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
√{j(n+1)}<i,i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔j(n+1)<i^2,(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒(n-i)^2<(n+1)^2-2(n+1)(i+1)+(n+1)(j+1)=(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2>(n+1)^2-2(n+1)i+j(n+1)=(n+1)(n-2i+j+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が2個含まれる

[i,i+1)に1個含まれる
√{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔(j-1)(n+1)<i^2≦j(n+1)<(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j-1)}<n-i<√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が１個含まれる

よって,i≠n/2,ならば[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)には√{k(n+1)}が２個含まれ、
i=n/2ならば[i,i+1)には√{k(n+1)}が１個含まれる。
n≡0,2(mod 4)で場合分けして考えると、題意の成立がわかる。」

上の証明が合っていれば似たような解法でおそらくN{k:a(k)=pd±i}+N{k:a(k)=n-pd∓i}=2(複合同順)が示せて、>>658の一般化も示せそうなのですが、間違っていたら元も子もないですね。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/667

679: １３２人目の素数さん [] 2020/03/16(月) 19:18:36.76 ID:8zVl3xLP

>>667
後半、typoや議論の重複があるので、少し丁寧めにまとめるとこうなるかな？

(補題1)　(□には <、≦、>、≧ のうちどれか1つが入る)
i □ √{j(n+1)}
⇔i^2 □ (n+1)j
⇔(n-i+1)^2=(n+1-i)^2=(n+1)(n+1-2i)+i^2 □ (n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔(n-i+1)^2 □ (n+1)(n-2i+j+1)
⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)

(補題2) 補題1でiにi+1とかjにj-1やj+1を入れたものを含めると、次の4つがわかる
i □ √{(j-1)(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j)(n+1)
i □ √{j(n+1)}⇔n-i+1 □ √(n-2i+j+1)(n+1)
i+1 □ √{j(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j-1)(n+1)
i+1 □ √{(j+1)(n+1)}⇔n-i □ √(n-2i+j)(n+1)

この補題2の4つを使うと、次の3つのことがいえる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が2個含まれる
⇔あるjが存在し, i≦√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔あるjが存在し, √{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は0個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が1個のみ含まれる
⇔あるjが存在し, √{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるjが存在し, √(n-2i+j-1)(n+1)<n-i≦√(n-2i+j)(n+1)<n-i+1≦√(n-2i+j+1)(n+1)
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は1個含まれる

[i,i+1)に√{k(n+1)}の形が0個含まれる
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, √{j(n+1)}<i,i+1≦√{(j+1)(n+1)}
⇔あるj(0かnかもしれない)が存在し, n-i≦√{(n-2i+j)(n+1)},√{(n+1)(n-2i+j+1)}<n-i+1
⇒[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}の形は2個含まれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/679

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