[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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603: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 19:37:49.09 ID:plq6CXNf >>601 教科書の方には「lが奇数の場合、 Aₗ=(2l+1)∫₀¹Pₗ(x)dx [ただしPₗ(x)はl次のルジャンドル多項式] 」 に 「Rodriguesの公式を利用すると、積分が計算できて Aₗ=(-1/2)⁽ˡ⁻¹⁾ᐟ² ((2l+1)(l-2)!!)/(2((l+1)/2)!) が得られる。」 と書いてありました。 教科書はジャクソン電磁気原書第3版(和訳第4版)で、問題はp.140のところです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/603

604: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 20:12:10.38 ID:nurrYDlF >>603 とりあえずPn(x)が(1-2xt+t^2)^(-1/2)のt^nの係数らしいから ∫[0,1] (1-2xt+t^2)^(-1/2) dx を計算してそれのn次の係数だせばいいんじゃない？ 積分は簡単だし、nじすの係数は一般化二項定理で出せるみたいだし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/604

605: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 20:25:10.90 ID:y9Jt3QH1 >>603 m:=2k + 1 {l は 1 と見分けにくいので m にした} d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m について (x²-1)...(x²-1) 各項の微分が 「0階項と1階項が同時にある場合」 or「 3階以上の項がある場合」 は消えるので 2階微分項のみからなるパターンを考えればよい. 2階微分のペアリング数: (m-2)!! 　1回目の微分とペアとなる微分は m-2 通り, まだペアを組んでいない次の微分とのペアは m-4 通り, ... } m項から 2階微分項 (k 個) の(順序付き)選び方: m!/(m-k)! ∫[0,1] d^m/dx^m (x²-1)^m dx = [ d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m ]{x=0,1} + 0 = [ m!/(m-k)!* (m-2)!! * (x²-1)^{k+1} (2)^k ] {x=0,1} = m!/(m-k)!* (m-2)!! * (-1)^k * 2^k = m!*(m-2)!/((k+1)!*(k-1)!) * 2 * (-1)^k 後は好きなように整理してくれ (m-2)!! = (m-2)(m-4)... 1 = (m-2)(m-3)(m-4)... 1 / {(m-3)(m-4)...2} = (m-2)!/(2k-2)!! (2k-2)!! = 2^(k-1) * (k-1)! http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/605

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