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分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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395: １３２人目の素数さん [] 2020/03/03(火) 14:26:35.18 ID:C04HU1Lb パラドックス？？？ 下記問題ですが、 https://imgur.com/a/0765i7e 極限値をｘとすると (√2)^x＝x とおけるので、両辺の対数をとって変形すると logx^(1/x)＝log2^(1/2) となって x=2 が解になっていることは分かります。 ところが、(√2)^x＝x の解をグラフで 考えると y＝(√2)^x ・・? と y=x ・・? の交点のｘ座標が解で あるが、x=2における?の微分係数は１より小さいので この点では接していない。つまり交わっている。 ?はｘが大きいと微分係数も１より大きくなっていくので、 もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ になり、極限値が２つあることになっておかしい。 これはどこが間違いですか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/395
396: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 15:10:11.48 ID:kdLcAq7E >>395 logx^(1/x)＝log2^(1/2)でも解は2つあるから「ところが」と論じるのはなんかおかしいように思う この点は別にして、「(√2)^x＝xとおいてこれを解けばよい」ってのは極限が収束するとわかっている場合なんじゃないか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/396
399: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 16:24:59.90 ID:c1vEOOkk >>395 > もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ ここ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/399
402: １３２人目の素数さん [] 2020/03/03(火) 16:51:49.67 ID:C04HU1Lb >>395 > もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ ここ 「２回目に交わるところのｘの値は極限値ではない」ということですね。 それはどうやって示せばいいのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/402
414: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 19:17:30.71 ID:KGTUQZbA >>395 f(x) = (√2)^x ････ ? は下に凸だから、x=2 での接線より上側にある。 y > 2 + f '(2)(x-2), 0 < 2 - a[n+1] < f '(2)(2-a[n]) < ････ < {f '(2)}^n･(2-a[1]), f '(2) = log(2) = 0.693147 < 1 だから収束 (吸引的) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/414
421: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/04(水) 00:25:11.76 ID:3AxDkYqV >>418 > x=2 におけるf(x)の接線が y=x なら x=2 における y=f(x) の接線は y = f(2) + f '(2)(x-2) です。 >>395 で f(x) = (√2)^x ････ ? とおいたので f(2) = 2, f '(2) = log(2) = 0.693147･･･ です > x=2 における?の微分係数は１より小さいのでこの点では接していない。 > つまり交わっている。 です。 y=f(x) は下に凸だから、 f(x) ≧ f(2) + f '(2)(x-2) = 2 + f'(2)(x-2), さて、本問に戻って a[n+1] = f(a[n]) > 2 + f '(2)(a[n]-2), ∴ 2 - a[n+1] < f '(2)･(2-a[n]) < ････ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/421
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