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分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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329: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 00:14:49.59 ID:jpva1bJt Nが1より大きい整数のとき、複素数や複素平面を使わずに cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 を証明せよ。 Nが偶数の時は単位円をN等分してみれば対称性からすぐ証明できます。 Nが奇数の時が難しくて悩んでいます。 お願いします。 幾何学的に解くのか、三角関数の公式を駆使して解くのか、数学的帰納法は「N」が分母にいるから難しそうだし・・・・。 複素平面を使えば証明は簡単です。 exp[i(1×2π/N)]、exp[i(2×2π/N)]、. . . exp[i(N×2π/N)] はN次方程式 x^N-1=0 の解なので解と係数の関係から exp[i(1×2π/N)]+exp[i(2×2π/N)]+・・・+ exp[i(N×2π/N)]=0 となります。これの実部が cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/329
330: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 00:56:59.56 ID:9IFv45Oy >>329 後者複素平面使ってる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/330
333: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 01:06:01.54 ID:hTFeapkM >>329 行列: M :={(cos(2π/N), -sin(2π/N)),( +sin(2π/N), +cos(2π/N))} と置くと M^k = {(cos(k2π/N), -sin(k2π/N)),( +sin(k2π/N), +cos(k2π/N))} (帰納法で示せる) S := M + M^2 + ... + M^N と置いて... MS = M^2 + M^2 + ... + M^{N+1} (M-1)S = M^{N+1} - M = M - M = 0 det(M-1) = (c-1)^2 + s^2 = 2 (1-c) = 4 sin(π/N)^2 より S = 0 Sの[1,1]成分より cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 を得る. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/333
341: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 18:05:05.03 ID:OsAJZC7k >>329 cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) =2sin((N+1)π/N)sinπ/2sin(π/N) =0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/341
347: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 21:19:44.63 ID:jpva1bJt >>331 >>329です ありがとうございます。感謝します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/347
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