[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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245: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 13:20:05.28 ID:URzusrEE 直径aの円Aと直径bの円Bが直径a+bの円Cに内接しているとき AとBに外接しCに内接する円の半径をa,bで表せ 座標入れて計算してみたらやり方が悪いのか煩雑になりすぎて計算できません。 たぶん有名問題なのでどこかに解説されてると思うですが検索しても見当たらないので お願いします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/245

246: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 13:24:56.91 ID:URzusrEE >>245　書き忘れ　円Aと円Bは外接してます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/246

250: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 17:10:10.37 ID:2UWx/2s8 >>245-246 AとBに外接しCに内接する円をD、a,bを直径ではなく半径、Dの半径をr A,B,C,Dの中心の座標をそれぞれ (-b,0), (a,0), (0,0), (x,y) とし、 Dの中心とA,B,Cの中心との距離を考ると、 [1] (x+b)^2 + y^2 = (a+r)^2, [2] (x-a)^2 + y^2 = (b+r)^2, [3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2. x,yを消去した式a([1]-[3])+b([2]-[3])を作ると、rの一次式になり r = ab(a+b)/(aa+ab+bb)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/250

256: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:32:44.65 ID:14JaYXx+ >>245 つデカルトの円定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/256

288: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/24(月) 14:45:10.45 ID:st+AszZ0 前>>274 >>245 求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、 cos∠DBA={(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2+b/2) cos∠DBC={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2) cos∠DBA=cos∠DBCより、 {(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}a ={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}(a+b) {(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}a ={(b+2x)^2+a^2-(a+2x)^2}(a+b) (b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a =(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-4ax-4x^2)(a+b) ab^2+4abx+4ax^2+2a^2b+ab^2-4a^2x-4ax^2 =ab^2+4abx+4ax^2-4a^2x-4ax^2+b^3+4b^2x+4bx^2-4abx-4bx^2 2a^2b+ab^2 =b^3+4b^2x-4abx 2a^2+ab =b^2+4bx-4ax 4(a-b)x=b^2-ab-2a^2 x=(b^2-ab-2a^2)/4(a-b) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/288

294: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/24(月) 17:18:19.43 ID:st+AszZ0 前>>290 >>245 求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、 cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2} ={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b) cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2) ={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a cos∠DBA=cos∠DBCより、 (b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b) (2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b) (2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b 2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x 2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2=2a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x x=(2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2)/(2a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2) =(4ab^2+4a^2b-4a^2)/(2a^2+4ab+6b^2) =(2ab^2+2a^2b-2a^2)/(a^2+2ab+3b^2) =2a(b^2+ab-a)/(a^2+2ab+3b^2) いまいちおっきいな。 手書きだとx=2ab/3(a+b) 携帯で検算すると変わった。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/294

295: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/24(月) 17:50:56.13 ID:st+AszZ0 前>>294訂正。 >>245 求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、 cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2} ={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b) cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2) ={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a cos∠DBA=cos∠DBCより、 (b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b) (2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b) (2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b 2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2x=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x 2ab^2+2a^2b+2a^2b+2ab^2=2a^2x+4a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x x=(2ab^2+4a^2b+2ab^2)/(2a^2+4a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2) =(4ab^2+4a^2b)/(6a^2+4ab+6b^2) =(2ab^2+2a^2b)/(3a^2+2ab+3b^2) =2ab(a+b)/(3a^2+2ab+3b^2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/295

314: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/26(水) 05:18:19.01 ID:HE36jqdY >>245の答えは>>295ではないのかい？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/314

346: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 19:35:16.48 ID:hTFeapkM >>245 反転円の方法で求めてみた。 (記号については図 https://imgur.com/dMxFIRN を参照) r/R = OP/OQ　{相似図形} 　= (a+b)^2 /OQ^2　{反転円} 2R = (a+b)^2/a - (a+b) = (a+b)(1+b/a)-(a+b) = (a+b)(b/a) OQ^2 = OT*OS　{方べきの定理} 　= OT*( OT - 2R*cos(t) )　= OT^2 - 2R*OT*cos(t) 　= ((a+b)^2/a)^2 + (n*2R)^2 - 2R*(a+b)^2/a 　= (a+b)^2 ((1+b/a)^2 - (1+b/a)(b/a)) + n^2* (a+b)^2(b/a)^2 　= (a+b)^2 ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 ) よって r = (1/2) (a+b)(b/a) / ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 ) = (1/2) ab (a+b) / ( a^2 + ab + n^2*b^2 ) (ついでなので n次内接円の半径を求めた) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/346

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